Kalkulator Fibonacci
Masukkan n untuk mendapatkan bilangan Fibonacci ke-n sebagai bilangan bulat yang eksak — bahkan F(100000), yang memiliki 20.899 digit. Di samping nilainya, Anda mendapatkan rumus bentuk tertutup Binet yang diperiksa terhadap jawaban eksak, rasio suku berurutan yang konvergen ke rasio emas, dan tabel dari deret suku yang Anda pilih. Gratis, tanpa pendaftaran — berjalan di peramban Anda.
Bilangan bulat dari 0 hingga 100.000. F(0) = 0, F(1) = 1.
Hasil
354224848179261915075
F(100)
21
Digit
Rumus Binet
F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, dengan φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 dan ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. Karena |ψ| < 1, suku kedua memudar, sehingga F(n) adalah φⁿ ÷ √5 yang dibulatkan ke bilangan bulat terdekat.
φ^100 ≈ 7,920708398E20
ψ^100 ≈ 1,262513338E-21
φ^100 ÷ √5 ≈ 3,542248482E20
(φ^100 − ψ^100) ÷ √5, dibulatkan dalam aritmetika presisi ganda = 354224848179263111168
Ini berbeda dari F(100) = 354224848179261915075 yang eksak. Bilangan presisi ganda menyimpan sekitar 16 digit signifikan, sehingga rumus Binet dalam aritmetika floating point biasa mulai menyimpang dari sekitar n = 70. Angka eksak di sini menggunakan aritmetika bilangan bulat.
Rasio suku berurutan
F(n + 1) ÷ F(n) mendekati rasio emas φ saat n bertambah, berganti-ganti di atas dan di bawahnya.
φ = 1.618033988749894848204586834365…
F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…
Angka-angka ini sepakat dengan φ untuk 30 tempat desimal pertama.
Deretnya
Hingga 100 suku.
| n | F(n) | F(n + 1) ÷ F(n), dipotong 10 tempat |
|---|---|---|
| 0 | 0 | — |
| 1 | 1 | 1.0000000000 |
| 2 | 1 | 2.0000000000 |
| 3 | 2 | 1.5000000000 |
| 4 | 3 | 1.6666666666 |
| 5 | 5 | 1.6000000000 |
| 6 | 8 | 1.6250000000 |
| 7 | 13 | 1.6153846153 |
| 8 | 21 | 1.6190476190 |
| 9 | 34 | 1.6176470588 |
| 10 | 55 | 1.6181818181 |
| 11 | 89 | 1.6179775280 |
| 12 | 144 | 1.6180555555 |
| 13 | 233 | 1.6180257510 |
| 14 | 377 | 1.6180371352 |
| 15 | 610 | 1.6180327868 |
| 16 | 987 | 1.6180344478 |
| 17 | 1597 | 1.6180338134 |
| 18 | 2584 | 1.6180340557 |
| 19 | 4181 | 1.6180339631 |
Cara Menggunakan Kalkulator Fibonacci
- 1. Masukkan n. Bilangan bulat apa pun dari 0 hingga 100000. Alat ini memakai indeks F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2.
- 2. Baca F(n). Nilainya muncul beserta jumlah digitnya. Lebih dari 40 digit, kartu menampilkan digit pertama dan terakhir, dan Salin semua digit menyalin setiap digit.
- 3. Bandingkan rumusnya. Bagian Binet menampilkan φⁿ, ψⁿ, dan hasil yang dibulatkan di samping suku eksak, sehingga Anda dapat melihat sampai di mana aritmetika floating point masih dapat dipercaya. Bagian rasio menampilkan F(n + 1) ÷ F(n) hingga 30 desimal di samping φ.
- 4. Daftar suku. Di Deretnya, pilih suku awal dan berapa banyak yang ditampilkan (hingga 100) untuk mendapatkan tabel F(n) dengan setiap rasio F(n + 1) ÷ F(n).
Apa Itu Deret Fibonacci
Setiap suku adalah jumlah dua suku sebelumnya: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), dimulai dengan 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Leonardo dari Pisa (Fibonacci) memakainya dalam Liber Abaci (1202) untuk memodelkan populasi kelinci, meskipun bilangan-bilangan itu sudah muncul dalam tulisan India tentang metrum puisi. Beberapa buku memulai deret dari F(1) = F(2) = 1 dan meninggalkan F(0); nilainya sama, hanya nomor posisinya yang berbeda.
Beberapa identitas yang patut diketahui: jumlah suku-sukunya F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); setiap suku ketiga bernilai genap; F(m) membagi F(n) setiap kali m membagi n; dan identitas Cassini mengatakan F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.
Rumus Binet dan Batasnya
Rumus Binet memberikan F(n) secara langsung: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, dengan φ = (1 + √5) ÷ 2 dan ψ = (1 − √5) ÷ 2. Karena ψ sekitar −0,618, ψⁿ menyusut mendekati 0 dan F(n) sederhananya adalah φⁿ ÷ √5 yang dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Untuk n = 10, φ10 ≈ 122,9919, ψ10 ≈ 0,0081, dan (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.
Mengapa kalkulator ini tidak sekadar memakai Binet
Kalkulator biasa atau spreadsheet menyimpan sekitar 16 digit signifikan. Dalam aritmetika presisi ganda, rumus Binet pertama kali salah pada n = 71, memberikan 308.061.521.170.130 alih-alih F(71) = 308.061.521.170.129 yang benar, dan galatnya membesar setelah itu. Alat ini menghitung suku dengan aritmetika bilangan bulat yang eksak (identitas fast doubling F(2k) = F(k)(2F(k+1) − F(k)) dan F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²) dan hanya menampilkan Binet sebagai pembanding.
Rasio Emas
Bagi setiap suku dengan suku sebelumnya dan jawabannya mendekati φ = 1,6180339887…, rasio emas. Mereka berganti-ganti di sekitarnya — 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615… — dan setiap rasio lebih dekat daripada yang sebelumnya. Setelah 20 suku, F(21) ÷ F(20) = 10946 ÷ 6765 sepakat dengan φ hingga 7 tempat desimal; F(41) ÷ F(40) sepakat hingga 16; F(101) ÷ F(100) sepakat hingga seluruh 30 tempat yang ditampilkan kalkulator. Alasannya sama dengan Binet: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.
Contoh kasus: F(100)
F(100) = 354224848179261915075 (21 digit) Digit menurut rumus: ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21 F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Berapa bilangan Fibonacci ke-100?
- F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, bilangan 21 digit. Itu memakai konvensi F(0) = 0 dan F(1) = 1. Jika sumber Anda menomori deret dari 1, 1, 2, 3, …, suku ke-100-nya juga F(100); hanya sumber yang membuang 1 awal yang menggeser nomor posisinya satu.
- Bagaimana cara mencari bilangan Fibonacci ke-n tanpa mendaftar setiap suku?
- Gunakan rumus Binet untuk n kecil, atau fast doubling untuk hasil eksak: ia membangun F(n) dari F(n ÷ 2) dan F(n ÷ 2 + 1) dengan beberapa perkalian, sehingga bahkan F(100000) hanya memerlukan sekitar 17 penggandaan. Menjumlahkan suku demi suku juga bisa, tetapi memerlukan n langkah.
- Apakah deret Fibonacci dimulai dari 0 atau 1?
- Kedua konvensi dipakai. Matematika biasanya dimulai dari F(0) = 0, F(1) = 1 (kalkulator ini). Banyak buku dan teka-teki dimulai dengan 1, 1. Suku-suku setelah awal itu identik, jadi periksa indeks mana yang dimaksud soal Anda sebelum membandingkan jawaban.
- Bagaimana deret Fibonacci berhubungan dengan rasio emas?
- Rasio suku berurutan F(n + 1) ÷ F(n) cenderung ke φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. Sebaliknya, φⁿ ÷ √5 berada dalam jarak 0,5 dari F(n), itulah rumus Binet. Tabel di alat ini menunjukkan rasio yang konvergen.
- Mengapa rumus Binet memberikan bilangan bulat?
- Bagian irasionalnya saling menghapus secara tepat: φⁿ dan ψⁿ adalah konjugat, sehingga selisihnya merupakan kelipatan √5. Namun dalam aritmetika floating point, φⁿ dibulatkan, dan mulai sekitar n = 71 galat pembulatan melampaui 0,5 sehingga jawabannya meleset satu atau lebih.
- Berapa digit yang dimiliki F(n)?
- Sekitar 0,2090 × n digit: tepatnya ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 untuk n ≥ 2. Jadi F(1000) memiliki 209 digit dan F(100000) memiliki 20.899.
- Apakah ada bilangan lain yang mengikuti aturan yang sama?
- Ya. Dua nilai awal apa pun dan aturan 'jumlahkan dua sebelumnya' membentuk deret mirip Fibonacci; dimulai dari 2 dan 1 menghasilkan bilangan Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Rasio semua deret seperti itu juga mendekati φ. Coba deret Anda sendiri di Pemecah Deret Angka.