Каково 100-е число Фибоначчи?

F(100) = 354 224 848 179 261 915 075 — 21-значное число. Это при условии F(0) = 0 и F(1) = 1. Если в вашем источнике нумерация начинается с 1, 1, 2, 3, …, его 100-й член тоже равен F(100); сдвиг позиции на единицу дают только источники, которые опускают первую единицу.

Как найти n-е число Фибоначчи, не перечисляя все члены?

Для небольших n используйте формулу Бине, а для точного результата — удвоение: оно строит F(n) из F(n ÷ 2) и F(n ÷ 2 + 1) несколькими умножениями, так что даже F(100000) требует всего около 17 удвоений. Последовательное сложение тоже работает, но требует n шагов.

С какого числа начинается последовательность Фибоначчи — с 0 или с 1?

Используются оба соглашения. В математике обычно начинают с F(0) = 0, F(1) = 1 (этот калькулятор). Многие учебники и задачи начинают с 1, 1. Члены после начала одинаковы, поэтому сверяйте, какой индекс имеет в виду ваша задача, прежде чем сравнивать ответы.

Как последовательность Фибоначчи связана с золотым сечением?

Отношение соседних членов F(n + 1) ÷ F(n) стремится к φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. И наоборот, φⁿ ÷ √5 отличается от F(n) не более чем на 0,5 — это и есть формула Бине. Таблица в инструменте показывает сходящиеся отношения.

Почему формула Бине даёт целое число?

Иррациональные части точно сокращаются: φⁿ и ψⁿ сопряжены, поэтому их разность кратна √5. В арифметике с плавающей точкой, однако, φⁿ округляется, и примерно с n = 71 ошибка округления превышает 0,5, так что ответ оказывается неверным на единицу или больше.

Сколько цифр в F(n)?

Примерно 0,2090 × n цифр: точно ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 для n ≥ 2. Так, в F(1000) 209 цифр, а в F(100000) — 20 899.

Есть ли другие числа, подчиняющиеся тому же правилу?

Да. Любые два начальных значения и правило «сложи два предыдущих» дают последовательность, похожую на Фибоначчи; если начать с 2 и 1, получатся числа Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Отношения всех таких последовательностей тоже стремятся к φ. Попробуйте свою последовательность в Решателе числовых последовательностей.

Калькулятор чисел Фибоначчи

Введите n, чтобы получить n-е число Фибоначчи как точное целое — даже F(100000), у которого 20 899 цифр. Вместе со значением вы получаете формулу Бине в замкнутом виде, сверенную с точным ответом, отношение соседних членов, сходящееся к золотому сечению, и таблицу любого отрезка членов по вашему выбору. Бесплатно, без регистрации — работает в вашем браузере.

Какой член, n

Целое число от 0 до 100 000. F(0) = 0, F(1) = 1.

Результаты

354224848179261915075

F(100)

Цифры

Формула Бине

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, где φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 и ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. Поскольку |ψ| < 1, второе слагаемое затухает, поэтому F(n) — это φⁿ ÷ √5, округлённое до ближайшего целого.

φ^100 ≈ 7,920708398E20

ψ^100 ≈ 1,262513338E-21

φ^100 ÷ √5 ≈ 3,542248482E20

(φ^100 − ψ^100) ÷ √5, округлённое в арифметике двойной точности = 354224848179263111168

Это отличается от точного F(100) = 354224848179261915075. Двойная точность хранит около 16 значащих цифр, поэтому формула Бине в обычной арифметике с плавающей точкой начинает расходиться примерно с n = 70. Точные значения здесь вычисляются целочисленной арифметикой.

Отношение соседних членов

F(n + 1) ÷ F(n) при росте n приближается к золотому сечению φ, поочерёдно оставаясь то выше, то ниже него.

φ = 1.618033988749894848204586834365…

F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…

Совпадение с φ по знакам после запятой: 30.

Последовательность

Список, начиная с члена

Сколько членов

Не более 100 членов.

n	F(n)	F(n + 1) ÷ F(n), с округлением до 10 знаков
0	0	—
1	1	1.0000000000
2	1	2.0000000000
3	2	1.5000000000
4	3	1.6666666666
5	5	1.6000000000
6	8	1.6250000000
7	13	1.6153846153
8	21	1.6190476190
9	34	1.6176470588
10	55	1.6181818181
11	89	1.6179775280
12	144	1.6180555555
13	233	1.6180257510
14	377	1.6180371352
15	610	1.6180327868
16	987	1.6180344478
17	1597	1.6180338134
18	2584	1.6180340557
19	4181	1.6180339631

Как пользоваться калькулятором чисел Фибоначчи

1. Введите n. Любое целое число от 0 до 100000. Инструмент использует нумерацию F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2.
2. Прочитайте F(n). Значение выводится вместе с количеством цифр. Начиная с 40 цифр карточка показывает первые и последние цифры, а Копировать все цифры копирует каждую из них.
3. Сравните формулы. В разделе Бине φⁿ, ψⁿ и округлённый результат показаны рядом с точным членом, так что видно, где вычисления с плавающей точкой перестают быть надёжными. В разделе отношений показано F(n + 1) ÷ F(n) с 30 знаками после запятой рядом с φ.
4. Составьте список членов. В разделе Последовательность выберите начальный член и количество членов для показа (до 100), чтобы получить таблицу F(n) с каждым отношением F(n + 1) ÷ F(n).

Что такое последовательность Фибоначчи

Каждый член равен сумме двух предыдущих: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), начиная с 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) использовал её в Liber Abaci (1202) для моделирования популяции кроликов, хотя числа уже встречались в индийских трудах о поэтическом метре. Некоторые книги начинают последовательность с F(1) = F(2) = 1 и опускают F(0); значения те же, различаются только номера позиций.

Несколько тождеств стоит знать: сумма членов F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); каждый третий член чётен; F(m) делит F(n), когда m делит n; а тождество Кассини утверждает, что F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.

Формула Бине и её пределы

Формула Бине даёт F(n) напрямую: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, где φ = (1 + √5) ÷ 2 и ψ = (1 − √5) ÷ 2. Поскольку ψ примерно равно −0,618, ψⁿ стремится к нулю, и F(n) — это просто φⁿ ÷ √5, округлённое до ближайшего целого. Для n = 10 имеем φ¹⁰ ≈ 122,9919, ψ¹⁰ ≈ 0,0081 и (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.

Почему этот калькулятор не использует Бине напрямую

Обычный калькулятор или таблица хранят около 16 значащих цифр. В арифметике двойной точности формула Бине впервые ошибается при n = 71: она даёт 308061521170130 вместо истинного F(71) = 308061521170129, и ошибка дальше растёт. Этот инструмент вычисляет члены точной целочисленной арифметикой (тождества удвоения F(2k) = F(k)(2F(k+1) − F(k)) и F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²) и показывает Бине только для сравнения.

Золотое сечение

Если разделить каждый член на предыдущий, ответы приближаются к φ = 1,6180339887… — золотому сечению. Они колеблются вокруг него — 2; 1,5; 1,667; 1,6; 1,625; 1,615… — и каждое отношение ближе предыдущего. После 20 членов F(21) ÷ F(20) = 10946 ÷ 6765 совпадает с φ до 7 знаков после запятой; F(41) ÷ F(40) — до 16; F(101) ÷ F(100) — до всех 30 знаков, которые показывает калькулятор. Причина та же, что и у формулы Бине: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.

Разобранный пример: F(100)

F(100) = 354224848179261915075   (21 цифра)
Цифры по формуле: ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21
F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…

Часто задаваемые вопросы

Каково 100-е число Фибоначчи?: F(100) = 354 224 848 179 261 915 075 — 21-значное число. Это при условии F(0) = 0 и F(1) = 1. Если в вашем источнике нумерация начинается с 1, 1, 2, 3, …, его 100-й член тоже равен F(100); сдвиг позиции на единицу дают только источники, которые опускают первую единицу.
Как найти n-е число Фибоначчи, не перечисляя все члены?: Для небольших n используйте формулу Бине, а для точного результата — удвоение: оно строит F(n) из F(n ÷ 2) и F(n ÷ 2 + 1) несколькими умножениями, так что даже F(100000) требует всего около 17 удвоений. Последовательное сложение тоже работает, но требует n шагов.
С какого числа начинается последовательность Фибоначчи — с 0 или с 1?: Используются оба соглашения. В математике обычно начинают с F(0) = 0, F(1) = 1 (этот калькулятор). Многие учебники и задачи начинают с 1, 1. Члены после начала одинаковы, поэтому сверяйте, какой индекс имеет в виду ваша задача, прежде чем сравнивать ответы.
Как последовательность Фибоначчи связана с золотым сечением?: Отношение соседних членов F(n + 1) ÷ F(n) стремится к φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. И наоборот, φⁿ ÷ √5 отличается от F(n) не более чем на 0,5 — это и есть формула Бине. Таблица в инструменте показывает сходящиеся отношения.
Почему формула Бине даёт целое число?: Иррациональные части точно сокращаются: φⁿ и ψⁿ сопряжены, поэтому их разность кратна √5. В арифметике с плавающей точкой, однако, φⁿ округляется, и примерно с n = 71 ошибка округления превышает 0,5, так что ответ оказывается неверным на единицу или больше.
Сколько цифр в F(n)?: Примерно 0,2090 × n цифр: точно ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 для n ≥ 2. Так, в F(1000) 209 цифр, а в F(100000) — 20 899.
Есть ли другие числа, подчиняющиеся тому же правилу?: Да. Любые два начальных значения и правило «сложи два предыдущих» дают последовательность, похожую на Фибоначчи; если начать с 2 и 1, получатся числа Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Отношения всех таких последовательностей тоже стремятся к φ. Попробуйте свою последовательность в Решателе числовых последовательностей.