100번째 피보나치 수는 무엇인가요?

F(100) = 354,224,848,179,261,915,075으로, 21자리 수입니다. 이는 F(0) = 0, F(1) = 1이라는 관례를 쓴 값입니다. 원본이 1, 1, 2, 3, …부터 번호를 매긴다면 100번째 항도 F(100)입니다. 맨 앞의 1을 빼고 세는 자료만 순번이 하나 어긋납니다.

모든 항을 나열하지 않고 n번째 피보나치 수를 어떻게 구하나요?

작은 n이면 비네 공식을, 정확한 값을 원하면 빠른 배가(fast doubling)를 씁니다. 빠른 배가는 F(n ÷ 2)와 F(n ÷ 2 + 1)로부터 몇 번의 곱셈으로 F(n)을 만들므로, F(100000)도 약 17번의 배가면 충분합니다. 항을 하나씩 더하는 방법도 가능하지만 n단계가 걸립니다.

피보나치 수열은 0에서 시작하나요, 1에서 시작하나요?

두 관례가 모두 쓰입니다. 수학에서는 보통 F(0) = 0, F(1) = 1로 시작하고(이 계산기가 그렇습니다), 많은 교과서와 퍼즐은 1, 1로 시작합니다. 시작 뒤의 항은 같으므로, 답을 비교하기 전에 문제가 말하는 순번이 무엇인지 확인하세요.

피보나치 수열은 황금비와 어떻게 관련되나요?

연속한 항의 비 F(n + 1) ÷ F(n)은 φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618034로 수렴합니다. 반대로 φⁿ ÷ √5는 F(n)과 0.5 이내로 가까우며, 이것이 비네 공식입니다. 도구의 표에서 비율이 수렴하는 모습을 볼 수 있습니다.

비네 공식은 왜 정수를 줄까요?

무리수 부분이 정확히 상쇄되기 때문입니다. φⁿ과 ψⁿ은 켤레이므로, 그 차는 √5의 배수입니다. 하지만 부동소수점 계산에서는 φⁿ이 반올림되고, 약 n = 71부터 반올림 오차가 0.5를 넘어 답이 하나 이상 틀려집니다.

F(n)은 몇 자리인가요?

대략 0.2090 × n자리입니다. 정확히는 n ≥ 2일 때 ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1입니다. 따라서 F(1000)은 209자리이고, F(100000)은 20,899자리입니다.

같은 규칙을 따르는 다른 수열도 있나요?

네. 두 개의 시작 값과 '바로 앞의 두 수를 더한다'는 규칙이 있으면 피보나치형 수열이 됩니다. 2와 1에서 시작하면 루카스 수 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18이 나옵니다. 이런 수열들의 비율도 모두 φ에 가까워집니다. 수열 해결사에서 직접 만든 수열을 시험해 보세요.

피보나치 계산기

n을 입력하면 n번째 피보나치 수를 정확한 정수로 구해 드립니다. F(100000)처럼 20,899자리인 수도 가능합니다. 값과 함께, 정확한 값으로 검증한 비네 공식, 연속한 항의 비가 황금비에 수렴하는 모습, 그리고 원하는 구간의 항을 담은 표를 보여 드립니다. 무료이며 회원가입이 필요 없고, 모든 계산은 브라우저에서 실행됩니다.

몇 번째 항, n

0부터 100,000까지의 정수입니다. F(0) = 0, F(1) = 1입니다.

결과

354224848179261915075

F(100)

자릿수

비네 공식

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5이며, φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.6180339887, ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0.6180339887입니다. |ψ| < 1이므로 두 번째 항은 점점 사라지고, 따라서 F(n)은 φⁿ ÷ √5를 가장 가까운 정수로 반올림한 값입니다.

φ^100 ≈ 7.920708398E20

ψ^100 ≈ 1.262513338E-21

φ^100 ÷ √5 ≈ 3.542248482E20

(φ^100 − ψ^100) ÷ √5, 배정밀도 연산으로 반올림 = 354224848179263111168

이는 정확한 F(100) = 354224848179261915075와 다릅니다. 배정밀도는 약 16개의 유효 숫자를 담으므로, 일반 부동소수점의 비네 공식은 n = 70 무렵부터 어긋납니다. 여기의 정확한 값은 정수 연산을 사용합니다.

연속한 항의 비

F(n + 1) ÷ F(n)은 n이 커질수록 황금비 φ에 가까워지며, φ의 위와 아래를 번갈아 오갑니다.

φ = 1.618033988749894848204586834365…

F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…

이 값들은 처음 30자리 소수점까지 φ와 일치합니다.

수열

이 항부터 나열

항 개수

최대 100개까지 가능합니다.

n	F(n)	F(n + 1) ÷ F(n), 소수점 10자리로 잘라 표시
0	0	—
1	1	1.0000000000
2	1	2.0000000000
3	2	1.5000000000
4	3	1.6666666666
5	5	1.6000000000
6	8	1.6250000000
7	13	1.6153846153
8	21	1.6190476190
9	34	1.6176470588
10	55	1.6181818181
11	89	1.6179775280
12	144	1.6180555555
13	233	1.6180257510
14	377	1.6180371352
15	610	1.6180327868
16	987	1.6180344478
17	1597	1.6180338134
18	2584	1.6180340557
19	4181	1.6180339631

피보나치 계산기 사용 방법

1. n을 입력하세요. 0부터 100000까지의 정수를 입력할 수 있습니다. 이 도구는 F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2로 번호를 붙입니다.
2. F(n)을 읽으세요. 값이 자릿수와 함께 나타납니다. 40자리를 넘으면 카드에는 처음과 끝 자릿수만 보이며, 모든 자릿수 복사를 누르면 모든 자릿수가 복사됩니다.
3. 공식을 비교하세요. 비네 섹션은 φⁿ, ψⁿ과 반올림한 결과를 정확한 항 옆에 보여 주므로, 부동소수점 계산이 언제부터 믿을 수 없게 되는지 볼 수 있습니다. 비율 섹션은 F(n + 1) ÷ F(n)을 φ 옆에 소수점 30자리까지 보여 줍니다.
4. 항을 나열하세요. 수열 섹션에서 시작 항과 보여 줄 개수(최대 100개)를 고르면, F(n)과 각 비율 F(n + 1) ÷ F(n)이 담긴 표가 나옵니다.

피보나치 수열이란 무엇인가

각 항은 바로 앞의 두 항을 더한 값입니다: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2). 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144로 시작합니다. 피사의 레오나르도(피보나치)는 1202년 Liber Abaci에서 토끼 개체군을 모형으로 삼아 이 수열을 사용했지만, 이 수들은 인도의 시 운율에 관한 저술에 이미 나타난 바 있습니다. 일부 책은 F(1) = F(2) = 1에서 시작하고 F(0)을 빼기도 합니다. 값은 같고 순번만 다릅니다.

알아 두면 좋은 몇 가지 항등식이 있습니다. 항들의 합은 F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1입니다(1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1). 세 번째마다 나오는 항은 짝수이고, m이 n을 나눌 때마다 F(m)은 F(n)을 나눕니다. 또 카시니 항등식은 F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ이라고 말합니다.

비네 공식과 그 한계

비네 공식은 F(n)을 직접 구해 줍니다: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, 여기서 φ = (1 + √5) ÷ 2, ψ = (1 − √5) ÷ 2입니다. ψ는 약 −0.618이므로 ψⁿ은 0에 가까워지고, F(n)은 단순히 φⁿ ÷ √5를 가장 가까운 정수로 반올림한 값이 됩니다. n = 10일 때 φ¹⁰ ≈ 122.9919, ψ¹⁰ ≈ 0.0081이고, (122.9919 − 0.0081) ÷ 2.2361 = 55입니다.

이 계산기가 비네 공식을 그대로 쓰지 않는 이유

일반 계산기나 스프레드시트는 약 16개의 유효 숫자를 저장합니다. 배정밀도 연산에서 비네 공식은 n = 71에서 처음 틀려서, 참값 F(71) = 308061521170129 대신 308061521170130을 줍니다. 그 뒤로 오차는 커집니다. 이 도구는 정확한 정수 연산(빠른 배가 항등식 F(2k) = F(k)(2F(k+1) − F(k))와 F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²)으로 항을 계산하고, 비네 공식은 비교용으로만 보여 줍니다.

황금비

각 항을 바로 앞의 항으로 나누면, 값이 황금비 φ = 1.6180339887…에 가까워집니다. 그 값들은 φ의 위와 아래를 번갈아 오가며, 2, 1.5, 1.667, 1.6, 1.625, 1.615…처럼 매번 이전보다 더 가까워집니다. 20개 항 뒤의 F(21) ÷ F(20) = 10946 ÷ 6765는 φ와 소수점 7자리까지 일치하고, F(41) ÷ F(40)은 16자리까지, F(101) ÷ F(100)은 도구가 보여 주는 30자리 모두 일치합니다. 이유는 비네 공식의 경우와 같습니다. F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ입니다.

실제 예시: F(100)

F(100) = 354224848179261915075   (21자리)
공식으로 구한 자릿수: ⌊100 × 0.20898764 − 0.34948500⌋ + 1 = 21
F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…

자주 묻는 질문

100번째 피보나치 수는 무엇인가요?: F(100) = 354,224,848,179,261,915,075으로, 21자리 수입니다. 이는 F(0) = 0, F(1) = 1이라는 관례를 쓴 값입니다. 원본이 1, 1, 2, 3, …부터 번호를 매긴다면 100번째 항도 F(100)입니다. 맨 앞의 1을 빼고 세는 자료만 순번이 하나 어긋납니다.
모든 항을 나열하지 않고 n번째 피보나치 수를 어떻게 구하나요?: 작은 n이면 비네 공식을, 정확한 값을 원하면 빠른 배가(fast doubling)를 씁니다. 빠른 배가는 F(n ÷ 2)와 F(n ÷ 2 + 1)로부터 몇 번의 곱셈으로 F(n)을 만들므로, F(100000)도 약 17번의 배가면 충분합니다. 항을 하나씩 더하는 방법도 가능하지만 n단계가 걸립니다.
피보나치 수열은 0에서 시작하나요, 1에서 시작하나요?: 두 관례가 모두 쓰입니다. 수학에서는 보통 F(0) = 0, F(1) = 1로 시작하고(이 계산기가 그렇습니다), 많은 교과서와 퍼즐은 1, 1로 시작합니다. 시작 뒤의 항은 같으므로, 답을 비교하기 전에 문제가 말하는 순번이 무엇인지 확인하세요.
피보나치 수열은 황금비와 어떻게 관련되나요?: 연속한 항의 비 F(n + 1) ÷ F(n)은 φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618034로 수렴합니다. 반대로 φⁿ ÷ √5는 F(n)과 0.5 이내로 가까우며, 이것이 비네 공식입니다. 도구의 표에서 비율이 수렴하는 모습을 볼 수 있습니다.
비네 공식은 왜 정수를 줄까요?: 무리수 부분이 정확히 상쇄되기 때문입니다. φⁿ과 ψⁿ은 켤레이므로, 그 차는 √5의 배수입니다. 하지만 부동소수점 계산에서는 φⁿ이 반올림되고, 약 n = 71부터 반올림 오차가 0.5를 넘어 답이 하나 이상 틀려집니다.
F(n)은 몇 자리인가요?: 대략 0.2090 × n자리입니다. 정확히는 n ≥ 2일 때 ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1입니다. 따라서 F(1000)은 209자리이고, F(100000)은 20,899자리입니다.
같은 규칙을 따르는 다른 수열도 있나요?: 네. 두 개의 시작 값과 '바로 앞의 두 수를 더한다'는 규칙이 있으면 피보나치형 수열이 됩니다. 2와 1에서 시작하면 루카스 수 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18이 나옵니다. 이런 수열들의 비율도 모두 φ에 가까워집니다. 수열 해결사에서 직접 만든 수열을 시험해 보세요.