인수분해 계산기
다항식을 입력하면 정수 범위의 완전한 인수분해를 각 단계와 함께 보여 드립니다. 최대공약수를 먼저 빼고, 이어서 제곱의 차, 완전제곱식, 세제곱의 합과 차, ax² + bx + c를 위한 AC 방법, 묶어서 인수분해, 유리근 정리를 차례로 적용합니다. 인수들을 다시 곱해 검산하며, 더 나눌 수 없는 다항식은 기약이라고 부릅니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.
문자 하나를 사용합니다. 예: 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 또는 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. 거듭제곱은 ^ 또는 위첨자로 씁니다.
인수분해된 형태
(3x − 4)(2x + 3)
인수분해
완전히 인수분해됨
상태
단계별 풀이
AC 방법: a × c = 6 × (−12) = −72. 곱이 −72이고 합이 b = 1인 두 수를 찾으세요: −8과 9입니다.
그 두 수로 가운데 항을 나누세요.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
항을 쌍으로 묶고, 각 쌍에서 공통인수를 뽑으세요.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
두 쌍이 이제 같은 괄호를 공유하므로, 그 괄호를 밖으로 빼세요.
(3x − 4)(2x + 3)
전개하여 검산
인수들을 다시 곱하면 입력한 다항식인 6x² + x − 12가 나옵니다.
인수분해 계산기 사용 방법
- 1. 다항식을 입력하세요. 예를 들어 6x^2 + x − 12 또는 x^3 + 8. 문자는 하나만 사용하고, 거듭제곱은 ^를 쓰거나 위첨자로 입력할 수 있으며, 괄호는 먼저 전개됩니다.
- 2. 인수분해된 형태를 읽으세요. 곱의 형태로 나타나며, 같은 인수는 거듭제곱으로 씁니다. 계산기는 다항식이 기약인지도 알려 줍니다.
- 3. 단계를 따라가세요. 각 줄은 사용한 방법을 밝히고, 선생님이 시도할 순서대로 그 전후의 다항식을 보여 줍니다.
- 4. 검산하세요. 인수들을 전개하여 입력한 식과 비교합니다.
방법을 시도하는 순서
| 찾을 것 | 패턴 | 인수분해 결과 |
|---|---|---|
| 모든 항에 공통인 인수 | ab + ac | a(b + c) — 항상 가장 먼저, 첫 항이 음수이면 음의 부호를 포함 |
| 두 항, 둘 다 완전제곱이며 뺄셈 | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| 두 항, 둘 다 완전세제곱 | A³ + B³ 또는 A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) 또는 (A − B)(A² + AB + B²) |
| 세 항, 첫 항과 끝 항이 완전제곱 | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| 세 항, ax² + bx + c | 곱이 ac이고 합이 b인 두 수 | 아래의 AC 방법 |
| 네 항 | 쌍마다 공통 괄호가 생김 | 묶어서 인수분해 |
| 그 밖의 경우 | 유리근 p/q | (qx − p)로 나누어 제거한 뒤 반복 |
AC 방법: 6x² + x − 12
- a와 c를 곱하세요. 6 × (−12) = −72.
- 곱이 −72이고 합이 b = 1인 두 수를 찾으세요. 그것은 −8과 9입니다.
- 가운데 항을 나누세요. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- 쌍마다 묶어 인수분해하세요. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- 공통 괄호를 밖으로 빼세요. (3x − 4)(2x + 3).
a = 1이면 이 방법은 익숙한 지름길로 줄어듭니다. x² + 5x + 6에서는 곱이 6이고 합이 5인 두 수, 즉 2와 3을 찾아 (x + 2)(x + 3)이라고 씁니다. 그러한 정수 쌍이 없으면 판별식 b² − 4ac가 완전제곱수가 아니므로, 이차식은 정수 범위에서 기약입니다.
다른 풀이 예시
| 다항식 | 방법 | 인수분해 결과 |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | 최대공약수 3x, 이어서 제곱의 차 (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | 세제곱의 차 (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | 묶기: x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | 유리근 x = 1/2, 이어서 이차식 | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | 두 이차식 (소피 제르맹의 항등식) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
이 계산기에서 “기약”의 뜻
다항식이 정수 계수를 가진 낮은 차수 다항식들의 곱으로 쓸 수 없으면, 정수 범위에서 기약(prime 또는 irreducible)이라고 합니다. x² + 4와 x² + x + 1은 기약입니다. 기약 여부는 수 체계에 따라 달라집니다. x² − 2는 정수 범위에서 기약이지만 실수 범위에서는 (x − √2)(x + √2)로 인수분해되고, x² + 4는 복소수 범위에서 (x − 2i)(x + 2i)로 인수분해됩니다. 이 계산기는 유리수 범위에서 인수분해하며, 정수 계수 다항식의 경우 정수 범위에서의 결과와 같습니다.
한계
이차식과 삼차식은 항상 완전히 인수분해합니다. 차수가 4 이상이면 계산기는 패턴, 유리근, 두 이차식의 곱을 찾는 방법을 사용합니다. 이 방법들 중 어느 것으로도 나뉘지 않는 인수는 기약이라고 단정하지 않고, 남은 인수로 표시하며 그 사실을 알려 줍니다.
흔한 실수
- 최대공약수를 빼먹기. 2x² + 10x + 12는 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3)으로 쉽게 풀립니다. 항상 공통인수를 먼저 빼세요.
- AC 단계에서 부호 실수하기. c가 음수이면 두 수는 부호가 서로 반대이고, c가 양수이면 두 수는 b와 같은 부호를 가집니다.
- 제곱의 합을 인수분해하려 하기. x² + 9는 정수 범위에서 기약입니다. 제곱의 차만 인수분해됩니다.
- 세제곱 공식을 헷갈리기. 두 번째 괄호의 가운데 부호는 항상 첫 번째 괄호의 부호와 반대입니다. A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²)이고, A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)입니다.
- 너무 일찍 멈추기. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4)는 끝난 것이 아닙니다. x² − 4는 다시 인수분해됩니다.
자주 묻는 질문
- 이차식 ax² + bx + c는 어떻게 인수분해하나요?
- AC 방법을 사용하세요. a와 c를 곱하고, 곱이 ac이고 합이 b인 두 수를 찾은 뒤, 그 두 수로 가운데 항을 나누고, 각 쌍을 인수분해하여 공통 괄호를 뺍니다. a = 1이면 곱이 c이고 합이 b인 두 수만 찾으면 됩니다.
- 제곱의 차 공식은 무엇인가요?
- A² − B² = (A − B)(A + B)입니다. 이항식이 완전제곱에서 완전제곱을 뺀 꼴일 때 적용하며, 예를 들어 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5)입니다. x² + 25와 같은 제곱의 합은 정수 범위에서 인수분해되지 않습니다.
- 세제곱의 합과 차 공식은 무엇인가요?
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²)이고, A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)입니다. 27x³ − 1에서는 A = 3x, B = 1이므로 (3x − 1)(9x² + 3x + 1)로 인수분해됩니다.
- 다항식이 기약인지 어떻게 알 수 있나요?
- 이차식이라면 판별식 b² − 4ac를 확인하세요. 완전제곱수가 아니면 유리근이 없고, 이차식은 정수 범위에서 기약입니다. 삼차식은 유리근이 없을 때 기약입니다. 더 높은 차수에는 간단한 판정법이 없습니다.
- 묶어서 인수분해하기란 무엇인가요?
- 항이 네 개일 때, 두 쌍으로 나누고 각 쌍에서 최대공약수를 뺍니다. 그다음 두 괄호가 같으면 그 괄호를 인수로 뺍니다. x³ + 2x² + 3x + 6은 x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3)이 됩니다.
- 공통인수가 가끔 음수인 이유는 무엇인가요?
- 최고차항의 계수가 음수이면 계산기는 음의 공통인수를 뽑아내므로, 괄호 안의 다항식은 양의 최고차항으로 시작합니다. −2x² + 8은 −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2)가 됩니다. 두 방식 모두 옳으므로, 수업에서 어떤 방식을 요구하는지 확인하세요.
- 인수분해 결과를 직접 확인할 수 있나요?
- 네, 인수들을 다시 곱해 보세요. 원래의 다항식이 나오면 인수분해가 맞습니다. 계산기는 마지막 검산 단계에서 이를 자동으로 해 줍니다.