Kalkulator rozkładu na czynniki
Wpisz wielomian, aby otrzymać jego pełny rozkład na czynniki nad liczbami całkowitymi, z każdym krokiem zapisanym osobno: najpierw największy wspólny dzielnik, potem różnica kwadratów, kwadrat sumy lub różnicy, sumy i różnice sześcianów, metoda AC dla ax² + bx + c, grupowanie albo twierdzenie o pierwiastkach wymiernych. Czynniki są mnożone z powrotem jako sprawdzenie, a wielomian, którego nie da się rozłożyć, nazywa się pierwszym. Za darmo, bez rejestracji.
Jedna litera, na przykład 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 albo 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. Potęgi zapisuj znakiem ^ lub indeksem górnym.
Postać iloczynowa
(3x − 4)(2x + 3)
Rozkład
Rozłożony w całości
Status
Krok po kroku
Metoda AC: pomnóż a × c = 6 × (−12) = −72. Znajdź dwie liczby, których iloczyn to −72, a suma to b = 1: są to −8 i 9.
Rozbij wyraz środkowy tymi dwiema liczbami.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Pogrupuj wyrazy w pary i wyłącz wspólny czynnik z każdej pary.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
Obie pary mają teraz wspólny nawias; wyłącz go.
(3x − 4)(2x + 3)
Sprawdzenie przez rozwinięcie
Pomnożenie czynników z powrotem daje 6x² + x − 12, czyli wielomian, który wpisałeś.
Jak korzystać z kalkulatora rozkładu na czynniki
- 1. Wpisz wielomian. Na przykład 6x^2 + x − 12 albo x^3 + 8. Używaj jednej litery; potęgi można zapisać znakiem ^ lub jako indeks górny, a nawiasy są najpierw rozwijane.
- 2. Odczytaj postać iloczynową. Pojawia się ona jako iloczyn, a powtarzające się czynniki są zapisane jako potęgi. Kalkulator mówi też, czy wielomian jest pierwszy.
- 3. Prześledź kroki. Każda linia nazywa użytą metodę i pokazuje wielomian przed i po przekształceniu, w kolejności, w jakiej nauczyciel sprawdziłby metody.
- 4. Sprawdź. Czynniki są rozwijane i porównywane z tym, co wpisałeś.
Kolejność metod
| Szukaj | Wzorzec | Rozkłada się na |
|---|---|---|
| Wspólnego czynnika we wszystkich wyrazach | ab + ac | a(b + c) — zawsze najpierw, także ze znakiem minus, jeśli wiodący wyraz jest ujemny |
| Dwóch wyrazów, obu będących kwadratami, odejmowanych | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| Dwóch wyrazów, obu będących sześcianami | A³ + B³ lub A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) lub (A − B)(A² + AB + B²) |
| Trzech wyrazów, pierwszy i ostatni są kwadratami | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| Trzech wyrazów, ax² + bx + c | Dwie liczby o iloczynie ac i sumie b | Metoda AC, poniżej |
| Czterech wyrazów | Pary mają wspólny nawias | Rozkład przez grupowanie |
| Cokolwiek innego | Pierwiastek wymierny p/q | Podziel przez (qx − p) i powtórz |
Metoda AC: 6x² + x − 12
- Pomnóż a i c. 6 × (−12) = −72.
- Znajdź dwie liczby, których iloczyn to −72, a suma to b = 1: są to −8 i 9.
- Rozbij wyraz środkowy. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- Pogrupuj i rozłóż każdą parę. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- Wyłącz wspólny nawias. (3x − 4)(2x + 3).
Gdy a = 1, metoda sprowadza się do znanego skrótu: dla x² + 5x + 6 szukasz dwóch liczb o iloczynie 6 i sumie 5 — 2 i 3 — i zapisujesz (x + 2)(x + 3). Jeśli takiej pary liczb całkowitych nie ma, wyróżnik b² − 4ac nie jest kwadratem doskonałym i trójmian jest pierwszy nad liczbami całkowitymi.
Inne przykłady
| Wielomian | Metoda | Postać iloczynowa |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | NWD 3x, potem różnica kwadratów (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | Różnica sześcianów (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | Grupowanie: x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | Pierwiastek wymierny x = 1/2, potem trójmian kwadratowy | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | Dwa trójmiany kwadratowe (tożsamość Sophie Germain) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
Co znaczy „pierwszy”
Wielomian jest pierwszy (lub nierozkładalny) nad liczbami całkowitymi, gdy nie da się go zapisać jako iloczynu wielomianów niższego stopnia o współczynnikach całkowitych. x² + 4 i x² + x + 1 są pierwsze. Pojęcie zależy od układu liczbowego: x² − 2 jest pierwszy nad liczbami całkowitymi, ale rozkłada się na (x − √2)(x + √2) nad liczbami rzeczywistymi, a x² + 4 rozkłada się na (x − 2i)(x + 2i) nad liczbami zespolonymi. Ten kalkulator rozkłada nad liczbami wymiernymi, co dla wielomianów o współczynnikach całkowitych daje ten sam wynik co rozkład nad liczbami całkowitymi.
Ograniczenia
Wielomiany stopnia drugiego i trzeciego są zawsze rozkładane w całości. Dla stopnia 4 i wyższych kalkulator używa wzorców, grupowania, pierwiastków wymiernych oraz szukania dwóch czynników kwadratowych. Czynnik, którego żadna z tych metod nie rozbija, jest podawany jako pozostały, z uwagą, zamiast nazywany pierwszym.
Częste błędy
- Pominięcie wspólnego czynnika. 2x² + 10x + 12 jest łatwiejsze jako 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). Zawsze najpierw wyłącz wspólny czynnik.
- Błędy znaków w kroku AC. Jeśli c jest ujemne, dwie liczby mają przeciwne znaki; jeśli c jest dodatnie, mają ten sam znak — znak b.
- Próba rozkładu sumy kwadratów. x² + 9 jest pierwszy nad liczbami całkowitymi; rozkłada się tylko różnica kwadratów.
- Mylenie wzorów na sześciany. Środkowy znak w drugim nawiasie jest zawsze przeciwny do znaku w pierwszym: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) oraz A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
- Zatrzymanie się za wcześnie. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) nie jest skończone: x² − 4 rozkłada się dalej.
Najczęstsze pytania
- Jak rozłożyć trójmian ax² + bx + c na czynniki?
- Użyj metody AC. Pomnóż a i c, znajdź dwie liczby, których iloczyn to ac, a suma to b, rozbij nimi wyraz środkowy, rozłóż każdą parę i wyłącz wspólny nawias. Gdy a = 1, szukasz tylko dwóch liczb o iloczynie c i sumie b.
- Jaki jest wzór na różnicę kwadratów?
- A² − B² = (A − B)(A + B). Stosuje się go, gdy dwumian jest kwadratem minus kwadrat, na przykład 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Suma kwadratów, na przykład x² + 25, nie rozkłada się nad liczbami całkowitymi.
- Jakie są wzory na sumę i różnicę sześcianów?
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) oraz A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Dla 27x³ − 1 mamy A = 3x i B = 1, więc rozkład to (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
- Skąd wiadomo, że wielomian jest pierwszy?
- Dla trójmianu sprawdź wyróżnik b² − 4ac: jeśli nie jest kwadratem doskonałym, nie ma pierwiastków wymiernych i trójmian jest pierwszy nad liczbami całkowitymi. Wielomian stopnia trzeciego jest pierwszy, gdy nie ma pierwiastka wymiernego. Dla wyższych stopni nie ma prostego testu.
- Czym jest rozkład przez grupowanie?
- Dla czterech wyrazów podziel je na dwie pary, wyłącz z każdej największy wspólny dzielnik, a jeśli nawiasy są takie same, wyłącz nawias. x³ + 2x² + 3x + 6 staje się x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
- Dlaczego wspólny czynnik bywa czasem ujemny?
- Gdy współczynnik wiodący jest ujemny, kalkulator wyłącza ujemny wspólny czynnik, więc wielomian w nawiasie zaczyna się dodatnio. −2x² + 8 staje się −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Obie konwencje są poprawne; sprawdź, jakiej wymaga twój kurs.
- Czy mogę sam sprawdzić rozkład?
- Tak, pomnóż czynniki z powrotem. Jeśli dostaniesz wielomian wyjściowy, rozkład jest poprawny. Kalkulator robi to za ciebie w końcowym sprawdzeniu.