Calculateur de factorisation
Saisissez un polynôme et obtenez sa factorisation complète sur les entiers, avec chaque étape : le plus grand commun diviseur (PGCD), puis la différence de carrés, les carrés parfaits, les sommes et différences de cubes, la méthode AC pour ax² + bx + c, le regroupement ou le théorème des racines rationnelles. Les facteurs sont multipliés à nouveau pour vérification, et un polynôme qui ne se factorise pas est dit irréductible. Gratuit, sans inscription.
Une seule lettre, par exemple 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 ou 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. Les puissances s'écrivent avec ^ ou en exposant.
Forme factorisée
(3x − 4)(2x + 3)
Factorisation
Entièrement factorisé
État
Étape par étape
Méthode AC : multipliez a × c = 6 × (−12) = −72. Cherchez deux nombres dont le produit vaut −72 et la somme b = 1 : ce sont −8 et 9.
Décomposez le terme du milieu à l'aide de ces deux nombres.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Regroupez les termes par paires et mettez en facteur le facteur commun de chaque paire.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
Les deux paires partagent maintenant une parenthèse ; mettez-la en facteur.
(3x − 4)(2x + 3)
Vérification par développement
Le développement des facteurs donne 6x² + x − 12, le polynôme que vous avez saisi.
Comment utiliser le calculateur de factorisation
- 1. Saisissez le polynôme. Par exemple 6x^2 + x − 12 ou x^3 + 8. Utilisez une seule lettre ; les puissances peuvent s'écrire avec ^ ou en exposant, et les parenthèses sont développées en premier.
- 2. Lisez la forme factorisée. Elle apparaît sous forme de produit, les facteurs répétés étant écrits en puissances, et le calculateur indique si le polynôme est irréductible.
- 3. Suivez les étapes. Chaque ligne nomme la méthode employée et montre le polynôme avant et après, dans l'ordre où un enseignant les essaierait.
- 4. Vérifiez. Les facteurs sont développés et comparés à ce que vous avez saisi.
L'ordre dans lequel essayer les méthodes
| Repérer | Motif | Se factorise en |
|---|---|---|
| Un facteur commun à tous les termes | ab + ac | a(b + c) — toujours en premier, avec le signe moins si le terme de tête est négatif |
| Deux termes, tous deux des carrés parfaits, soustraits | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| Deux termes, tous deux des cubes parfaits | A³ + B³ ou A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) ou (A − B)(A² + AB + B²) |
| Trois termes, premier et dernier carrés parfaits | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| Trois termes, ax² + bx + c | Deux nombres de produit ac et de somme b | La méthode AC, ci-dessous |
| Quatre termes | Les paires partagent une parenthèse | Factoriser par regroupement |
| Autre cas | Une racine rationnelle p/q | Diviser par (qx − p) et recommencer |
La méthode AC : 6x² + x − 12
- Multipliez a et c. 6 × (−12) = −72.
- Cherchez deux nombres dont le produit vaut −72 et la somme vaut b = 1 : ce sont −8 et 9.
- Décomposez le terme du milieu. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- Regroupez et factorisez chaque paire. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- Mettez en facteur la parenthèse commune. (3x − 4)(2x + 3).
Lorsque a = 1, la méthode se réduit au raccourci bien connu : pour x² + 5x + 6, cherchez deux nombres de produit 6 et de somme 5 — 2 et 3 — et écrivez (x + 2)(x + 3). S'il n'existe aucun couple d'entiers de ce type, le discriminant b² − 4ac n'est pas un carré parfait et le trinôme est irréductible sur les entiers.
Autres exemples détaillés
| Polynôme | Méthode | Forme factorisée |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | PGCD 3x, puis différence de carrés (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | Différence de cubes (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | Regroupement : x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | Racine rationnelle x = 1/2, puis le trinôme | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | Deux trinômes (identité de Sophie Germain) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
Ce que signifie « irréductible » ici
Un polynôme est irréductible (on dit aussi premier) sur les entiers lorsqu'il ne peut pas s'écrire comme produit de polynômes de degré inférieur à coefficients entiers. x² + 4 et x² + x + 1 sont irréductibles. L'irréductibilité dépend du système de nombres : x² − 2 est irréductible sur les entiers, mais se factorise en (x − √2)(x + √2) sur les réels, et x² + 4 se factorise en (x − 2i)(x + 2i) sur les complexes. Ce calculateur factorise sur les rationnels, ce qui, pour des polynômes à coefficients entiers, donne le même résultat que sur les entiers.
Limites
Les polynômes du second et du troisième degré sont toujours factorisés complètement. Pour le degré 4 et plus, le calculateur utilise des motifs, le regroupement, les racines rationnelles et une recherche de deux facteurs du second degré. Un facteur qu'aucune de ces méthodes ne décompose est signalé comme restant, avec une remarque, au lieu d'être déclaré irréductible.
Erreurs courantes
- Oublier le PGCD. 2x² + 10x + 12 est plus simple sous la forme 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). Retirez toujours d'abord le facteur commun.
- Erreurs de signe dans l'étape AC. Si c est négatif, les deux nombres sont de signes opposés ; s'il est positif, ils ont le même signe, celui de b.
- Tenter de factoriser une somme de carrés. x² + 9 est irréductible sur les entiers ; seule une différence de carrés se factorise.
- Confondre les formules de cubes. Le signe central de la seconde parenthèse est toujours l'opposé du signe de la première : A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) et A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
- S'arrêter trop tôt. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) n'est pas terminé : x² − 4 se factorise encore.
Questions fréquentes
- Comment factoriser un trinôme ax² + bx + c ?
- Utilisez la méthode AC. Multipliez a et c, cherchez deux nombres de produit ac et de somme b, décomposez le terme du milieu avec eux, factorisez chaque paire, puis mettez en facteur la parenthèse commune. Lorsque a = 1, il suffit de deux nombres de produit c et de somme b.
- Quelle est la formule de la différence de carrés ?
- A² − B² = (A − B)(A + B). Elle s'applique lorsqu'un binôme est un carré parfait moins un carré parfait, comme 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Une somme de carrés comme x² + 25 ne se factorise pas sur les entiers.
- Quelles sont les formules de la somme et de la différence de cubes ?
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) et A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Pour 27x³ − 1, A = 3x et B = 1, d'où (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
- Comment savoir si un polynôme est irréductible ?
- Pour un trinôme, examinez le discriminant b² − 4ac : s'il n'est pas un carré parfait, il n'y a pas de racine rationnelle et le trinôme est irréductible sur les entiers. Un polynôme du troisième degré est irréductible lorsqu'il n'a pas de racine rationnelle. Pour les degrés supérieurs, il n'existe pas de test simple.
- Qu'est-ce que la factorisation par regroupement ?
- Pour quatre termes, formez deux paires, mettez en facteur le PGCD de chacune et, si les parenthèses coïncident, mettez-la en facteur à son tour. x³ + 2x² + 3x + 6 devient x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
- Pourquoi le facteur commun est-il parfois négatif ?
- Lorsque le coefficient du terme de tête est négatif, le calculateur met en facteur un facteur commun négatif, de sorte que le polynôme entre parenthèses commence par un terme positif. −2x² + 8 devient −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Les deux conventions sont correctes ; vérifiez celle qu'exige votre cours.
- Puis-je vérifier une factorisation moi-même ?
- Oui : développez les facteurs. Si vous retrouvez le polynôme de départ, la factorisation est juste. Le calculateur le fait pour vous dans la vérification finale.