Çarpanlara Ayırma Hesaplayıcı
Bir polinom girin; tamsayılar üzerinde tam çarpanlara ayırmayı her adımıyla birlikte alın: önce en büyük ortak çarpan, ardından kareler farkı, tam kareler, küplerin toplamı ve farkı, ax² + bx + c için AC yöntemi, gruplandırma ya da rasyonel kök teoremi. Çarpanlar kontrol için yeniden açılır; çarpanlarına ayrılamayan bir polinoma asal denir. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
Tek bir harf, örneğin 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 ya da 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. Kuvvetler ^ ile ya da üst simgelerle yazılabilir.
Çarpanlanmış biçim
(3x − 4)(2x + 3)
Çarpanlara ayırma
Tamamen çarpanlarına ayrıldı
Durum
Adım adım
AC yöntemi: a × c = 6 × (−12) = −72. Çarpımı −72, toplamı b = 1 olan iki sayı bulun: bunlar −8 ve 9.
Orta terimi bu iki sayıyı kullanarak bölün.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Terimleri ikişerli gruplayın ve her çiftten ortak çarpanı dışarı çıkarın.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
İki çiftin artık ortak bir parantezi var; onu dışarı çıkarın.
(3x − 4)(2x + 3)
Yeniden açarak kontrol
Çarpanları yeniden açmak 6x² + x − 12 sonucunu verir; bu, girdiğiniz polinomdur.
Çarpanlara Ayırma Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Polinomu yazın. Örneğin 6x^2 + x − 12 ya da x^3 + 8. Tek bir harf kullanın; kuvvetleri ^ ile ya da üst simgeyle yazabilirsiniz, parantezler önce açılır.
- 2. Çarpanlanmış biçimi okuyun. Bir çarpım olarak görünür; tekrar eden çarpanlar kuvvet olarak yazılır ve hesaplayıcı polinomun asal olup olmadığını belirtir.
- 3. Adımları izleyin. Her satır kullanılan yöntemi adlandırır ve bir öğretmenin deneyeceği sırayla polinomun öncesini ve sonrasını gösterir.
- 4. Kontrol edin. Çarpanlar yeniden açılır ve yazdığınızla karşılaştırılır.
Yöntemleri hangi sırayla denemeli
| Aranan durum | Örüntü | Çarpanlanmış biçim |
|---|---|---|
| Her terimde ortak bir çarpan | ab + ac | a(b + c) — her zaman önce, baştaki terim negatifse eksi işaretiyle birlikte |
| İki terim, ikisi de tam kare ve çıkarılıyor | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| İki terim, ikisi de tam küp | A³ + B³ ya da A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) ya da (A − B)(A² + AB + B²) |
| Üç terim, ilk ve son terimler tam kare | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| Üç terim, ax² + bx + c | Çarpımı ac, toplamı b olan iki sayı | Aşağıdaki AC yöntemi |
| Dört terim | Çiftler ortak bir parantez paylaşır | Gruplandırarak çarpanlarına ayırma |
| Diğer her durum | Rasyonel kök p/q | Bölerek çıkarın (qx − p) ve tekrarlayın |
AC yöntemi: 6x² + x − 12
- a ile c'yi çarpın. 6 × (−12) = −72.
- İki sayı bulun. Çarpımı −72, toplamı b = 1 olan sayılar −8 ve 9'dur.
- Orta terimi bölün. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- Grupları ayırıp her çifti çarpanlarına ayırın. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- Ortak parantezi dışarı çıkarın. (3x − 4)(2x + 3).
a = 1 olduğunda yöntem tanıdık kısayola dönüşür: x² + 5x + 6 için çarpımı 6, toplamı 5 olan iki sayı — 2 ve 3 — bulunur ve (x + 2)(x + 3) yazılır. Böyle bir tam sayı çifti yoksa, ayırt edici b² − 4ac tam kare değildir ve ikinci dereceden ifade tamsayılar üzerinde asaldır.
Diğer çözümlü örnekler
| Polinom | Yöntem | Çarpanlanmış biçim |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | Ortak çarpan 3x, sonra kareler farkı (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | Küplerin farkı (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | Gruplandırma: x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | Rasyonel kök x = 1/2, sonra ikinci dereceden ifade | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | İki ikinci dereceden çarpan (Sophie Germain özdeşliği) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
“Asal” burada ne anlama gelir?
Bir polinom, tamsayı katsayılı daha düşük dereceli polinomların çarpımı olarak yazılamıyorsa tamsayılar üzerinde asaldır (ya da indirgenemez). x² + 4 ve x² + x + 1 asaldır. Asallık sayı sistemine bağlıdır: x² − 2 tamsayılar üzerinde asaldır ama reel sayılarda (x − √2)(x + √2) olarak çarpanlarına ayrılır; x² + 4 ise karmaşık sayılarda (x − 2i)(x + 2i) olur. Bu hesaplayıcı rasyonel sayılar üzerinde çarpanlarına ayırır; tamsayı katsayılı polinomlarda bu, tamsayılar üzerindeki sonuçla aynıdır.
Sınırlar
İkinci ve üçüncü dereceden polinomlar her zaman tamamen çarpanlarına ayrılır. Dördüncü ve daha yüksek dereceler için hesaplayıcı örüntüleri, gruplandırmayı, rasyonel kökleri ve iki ikinci dereceden çarpan arar. Bunların hiçbiriyle ayrılamayan bir çarpan, asal diye adlandırılmak yerine, bir notla birlikte kalan olarak bildirilir.
Sık Yapılan Hatalar
- En büyük ortak çarpanı atlamak. 2x² + 10x + 12, 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3) biçiminde daha kolaydır. Her zaman önce ortak çarpanı dışarı çıkarın.
- AC adımındaki işaret hataları. c negatifse iki sayının işaretleri farklıdır; c pozitifse işaretleri aynıdır: b'nin işareti.
- Kareler toplamını çarpanlarına ayırmaya çalışmak. x² + 9 tamsayılar üzerinde asaldır; yalnızca kareler farkı çarpanlara ayrılır.
- Küp formüllerini karıştırmak. İkinci parantezdeki orta işaret, her zaman birincideki işaretin tersidir: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) ve A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
- Erken durmak. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) henüz bitmiş değildir: x² − 4 yeniden çarpanlarına ayrılır.
Sık sorulan sorular
- Üçlü ax² + bx + c çarpanlarına nasıl ayrılır?
- AC yöntemini kullanın. a ile c'yi çarpın, çarpımı ac, toplamı b olan iki sayı bulun, orta terimi bu sayılarla bölün, her çifti çarpanlarına ayırın ve ortak parantezi dışarı çıkarın. a = 1 olduğunda yalnızca çarpımı c, toplamı b olan iki sayıya ihtiyacınız vardır.
- Kareler farkı formülü nedir?
- A² − B² = (A − B)(A + B). İkili bir ifadenin tam kare eksi tam kare olduğu durumlarda uygulanır; örneğin 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). x² + 25 gibi bir kareler toplamı tamsayılar üzerinde çarpanlarına ayrılmaz.
- Küplerin toplamı ve farkı formülleri nedir?
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) ve A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). 27x³ − 1 için A = 3x ve B = 1'dir; bu yüzden (3x − 1)(9x² + 3x + 1) olarak çarpanlarına ayrılır.
- Bir polinomun asal olduğunu nasıl anlarım?
- İkinci dereceden bir ifade için ayırt edici b² − 4ac'ye bakın: tam kare değilse rasyonel kökü yoktur ve ifade tamsayılar üzerinde asaldır. Üçüncü dereceden bir ifade rasyonel kök içermediğinde asaldır. Daha yüksek dereceler için basit bir test yoktur.
- Gruplandırarak çarpanlarına ayırma nedir?
- Dört terim için onları iki çifte ayırın, her çiftten en büyük ortak çarpanı dışarı çıkarın ve parantezler eşleşiyorsa parantezi dışarı alın. x³ + 2x² + 3x + 6, x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3) olur.
- Ortak çarpan bazen neden negatiftir?
- Baş katsayı negatif olduğunda hesaplayıcı negatif bir ortak çarpan dışarı çıkarır; böylece parantez içindeki polinom pozitif başlar. −2x² + 8 ifadesi −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2) olur. İki kural da doğrudur; dersinizin hangisini beklediğini kontrol edin.
- Bir çarpanlara ayırmayı kendim kontrol edebilir miyim?
- Evet, çarpanları yeniden açın. Başlangıçtaki polinomu elde ederseniz çarpanlara ayırma doğrudur. Hesaplayıcı bunu son kontrol adımında sizin için yapar.