Công Cụ Phân Tích Đa Thức
Nhập một đa thức để nhận sự phân tích đầy đủ trên tập số nguyên, với từng bước được viết ra: ƯCLN trước, rồi hiệu hai bình phương, bình phương đúng, tổng và hiệu hai lập phương, phương pháp AC cho ax² + bx + c, nhóm hạng tử hoặc định lý nghiệm hữu tỉ. Các thừa số được nhân lại để kiểm tra, và đa thức không phân tích được sẽ được gọi là bất khả quy. Miễn phí, không cần đăng ký.
Một chữ cái, ví dụ 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 hoặc 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. Lũy thừa dùng ^ hoặc chỉ số trên.
Dạng đã phân tích
(3x − 4)(2x + 3)
Phân tích
Đã phân tích hoàn toàn
Trạng thái
Từng bước
Phương pháp AC: nhân a × c = 6 × (−12) = −72. Tìm hai số có tích bằng −72 và tổng bằng b = 1: đó là −8 và 9.
Tách hạng tử giữa bằng hai số đó.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Nhóm các hạng tử thành từng cặp và đặt thừa số chung của mỗi cặp ra ngoài.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
Hai cặp giờ có chung một dấu ngoặc; đặt dấu ngoặc đó ra ngoài.
(3x − 4)(2x + 3)
Kiểm tra bằng cách khai triển
Nhân các thừa số trở lại được 6x² + x − 12, chính là đa thức bạn đã nhập.
Cách Sử Dụng Công Cụ Phân Tích Đa Thức
- 1. Nhập đa thức. Ví dụ 6x^2 + x − 12 hoặc x^3 + 8. Dùng một chữ cái; lũy thừa có thể viết bằng ^ hoặc chỉ số trên, và các dấu ngoặc được khai triển trước.
- 2. Đọc dạng đã phân tích. Kết quả hiện dưới dạng một tích, với các thừa số lặp viết thành lũy thừa, và công cụ cho biết đa thức có bất khả quy hay không.
- 3. Theo dõi các bước. Mỗi dòng nêu phương pháp được dùng và cho thấy đa thức trước và sau khi áp dụng, theo thứ tự mà một giáo viên sẽ thử.
- 4. Kiểm tra. Các thừa số được khai triển và so sánh với đa thức bạn đã nhập.
Thứ Tự Thử Các Phương Pháp
| Tìm | Mẫu | Phân tích thành |
|---|---|---|
| Một thừa số chung trong mọi hạng tử | ab + ac | a(b + c) — luôn thử đầu tiên, kể cả dấu trừ nếu hạng tử đầu âm |
| Hai hạng tử, cả hai đều là bình phương đúng, được trừ đi | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| Hai hạng tử, cả hai đều là lập phương đúng | A³ + B³ hoặc A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) hoặc (A − B)(A² + AB + B²) |
| Ba hạng tử, hạng tử đầu và cuối là bình phương đúng | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| Ba hạng tử, ax² + bx + c | Hai số có tích bằng ac và tổng bằng b | Phương pháp AC, bên dưới |
| Bốn hạng tử | Các cặp chia sẻ một dấu ngoặc chung | Phân tích bằng nhóm |
| Trường hợp khác | Một nghiệm hữu tỉ p/q | Chia đi (qx − p) rồi lặp lại |
Phương Pháp AC: 6x² + x − 12
- Nhân a và c. 6 × (−12) = −72.
- Tìm hai số có tích bằng −72 và tổng bằng b = 1: đó là −8 và 9.
- Tách hạng tử giữa. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- Nhóm và phân tích từng cặp. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- Đặt dấu ngoặc chung ra ngoài. (3x − 4)(2x + 3).
Khi a = 1, phương pháp này rút gọn thành cách tắt quen thuộc: với x² + 5x + 6, tìm hai số có tích bằng 6 và tổng bằng 5 — là 2 và 3 — rồi viết (x + 2)(x + 3). Nếu không có cặp số nguyên nào như vậy, biệt thức b² − 4ac không phải số chính phương và tam thức bậc hai đó bất khả quy trên tập số nguyên.
Các Ví Dụ Minh Họa Khác
| Đa thức | Phương pháp | Dạng đã phân tích |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | ƯCLN 3x, rồi hiệu hai bình phương (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | Hiệu hai lập phương (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | Nhóm: x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | Nghiệm hữu tỉ x = 1/2, rồi đến tam thức bậc hai | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | Hai tam thức bậc hai (đồng nhất thức Sophie Germain) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
Ý Nghĩa Của “Bất Khả Quy” Ở Đây
Một đa thức là bất khả quy (hay không thể phân tích được) trên tập số nguyên khi nó không thể viết thành tích của các đa thức bậc thấp hơn với hệ số nguyên. x² + 4 và x² + x + 1 là bất khả quy. Tính bất khả quy phụ thuộc vào tập số đang xét: x² − 2 bất khả quy trên tập số nguyên nhưng phân tích được thành (x − √2)(x + √2) trên tập số thực, còn x² + 4 phân tích được thành (x − 2i)(x + 2i) trên tập số phức. Công cụ này phân tích trên tập số hữu tỉ, và với đa thức hệ số nguyên, kết quả đó trùng với kết quả trên tập số nguyên.
Giới hạn
Đa thức bậc hai và bậc ba luôn được phân tích hoàn toàn. Với bậc 4 trở lên, công cụ dùng các mẫu, nhóm hạng tử, nghiệm hữu tỉ và tìm hai thừa số bậc hai. Thừa số nào không tách được bằng các cách này sẽ được báo là phần còn lại kèm ghi chú, chứ không được gọi là bất khả quy.
Các Lỗi Thường Gặp
- Bỏ qua ƯCLN. 2x² + 10x + 12 dễ hơn khi viết thành 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). Luôn đặt thừa số chung ra ngoài trước.
- Sai dấu ở bước AC. Nếu c âm thì hai số trái dấu; nếu c dương thì chúng cùng dấu — dấu của b.
- Cố phân tích tổng hai bình phương. x² + 9 bất khả quy trên tập số nguyên; chỉ hiệu hai bình phương mới phân tích được.
- Nhầm công thức lập phương. Dấu ở giữa của dấu ngoặc thứ hai luôn ngược với dấu trong dấu ngoặc thứ nhất: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) và A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
- Dừng sớm. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) chưa xong: x² − 4 còn phân tích tiếp.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Làm thế nào để phân tích tam thức ax² + bx + c?
- Dùng phương pháp AC. Nhân a và c, tìm hai số có tích bằng ac và tổng bằng b, dùng chúng để tách hạng tử giữa, phân tích từng cặp, rồi đặt dấu ngoặc chung ra ngoài. Khi a = 1 bạn chỉ cần hai số có tích bằng c và tổng bằng b.
- Công thức hiệu hai bình phương là gì?
- A² − B² = (A − B)(A + B). Nó áp dụng khi một nhị thức là bình phương đúng trừ đi bình phương đúng, chẳng hạn 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Tổng hai bình phương như x² + 25 không phân tích được trên tập số nguyên.
- Công thức tổng và hiệu hai lập phương là gì?
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) và A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Với 27x³ − 1, A = 3x và B = 1, nên phân tích thành (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
- Làm sao biết một đa thức có bất khả quy không?
- Với bậc hai, kiểm tra biệt thức b² − 4ac: nếu nó không phải số chính phương thì không có nghiệm hữu tỉ và tam thức bậc hai đó bất khả quy trên tập số nguyên. Đa thức bậc ba bất khả quy khi nó không có nghiệm hữu tỉ. Với bậc cao hơn, không có phép thử đơn giản nào.
- Phân tích bằng nhóm là gì?
- Với bốn hạng tử, chia chúng thành hai cặp, đặt ƯCLN của mỗi cặp ra ngoài, và nếu các dấu ngoặc giống nhau thì đặt dấu ngoặc đó ra ngoài. x³ + 2x² + 3x + 6 thành x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
- Vì sao thừa số chung đôi khi là số âm?
- Khi hệ số đầu âm, công cụ đặt một thừa số chung âm ra ngoài, nên đa thức trong ngoặc bắt đầu bằng số dương. −2x² + 8 thành −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Cả hai quy ước đều đúng; hãy kiểm tra quy ước mà môn học của bạn yêu cầu.
- Tôi có thể tự kiểm tra một cách phân tích không?
- Có, hãy nhân các thừa số trở lại. Nếu bạn được đa thức ban đầu thì cách phân tích đúng. Công cụ làm việc này cho bạn trong bước kiểm tra cuối cùng.