Ontbindingscalculator
Voer een veelterm in en krijg de volledige ontbinding over de gehele getallen, met elke stap uitgeschreven: eerst de grootste gemene deler, dan verschil van kwadraten, volledige kwadraten, sommen en verschillen van kubussen, de AC-methode voor ax² + bx + c, groeperen of de stelling van het rationale nulpunt. De factoren worden als controle weer uitgewerkt, en een veelterm die niet te ontbinden is, heet priem. Gratis, zonder registratie.
Eén letter, bijvoorbeeld 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 of 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. Machten schrijf je met ^ of als superscript.
Ontbonden vorm
(3x − 4)(2x + 3)
Ontbinding
Volledig ontbonden
Status
Stap voor stap
AC-methode: vermenigvuldig a × c = 6 × (−12) = −72. Zoek twee getallen die vermenigvuldigd −72 geven en opgeteld b = 1: dat zijn −8 en 9.
Splits de middelste term met die twee getallen.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Groepeer de termen in paren en haal de gemeenschappelijke factor uit elk paar.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
Beide paren hebben nu een gedeeld haakje; haal dat haakje eruit.
(3x − 4)(2x + 3)
Controle door uit te werken
Als je de factoren weer uitwerkt, krijg je 6x² + x − 12, de veelterm die je hebt ingevoerd.
Zo gebruik je de ontbindingscalculator
- 1. Typ de veelterm. Bijvoorbeeld 6x^2 + x − 12 of x^3 + 8. Gebruik één letter; machten schrijf je met ^ of als superscript, en haakjes worden eerst uitgewerkt.
- 2. Lees de ontbonden vorm af. Die verschijnt als product, met herhaalde factoren als machten, en de calculator zegt of de veelterm priem is.
- 3. Volg de stappen. Elke regel noemt de gebruikte methode en toont de veelterm vóór en na de stap, in de volgorde waarin een docent ze zou proberen.
- 4. Controleer. De factoren worden uitgewerkt en vergeleken met wat je hebt ingetypt.
De volgorde waarin je methoden probeert
| Let op | Patroon | Ontbonden tot |
|---|---|---|
| Een gemeenschappelijke factor in elke term | ab + ac | a(b + c) — altijd eerst, ook met een minteken als de hoofdterm negatief is |
| Twee termen, beide volledige kwadraten, afgetrokken | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| Twee termen, beide volledige kubussen | A³ + B³ of A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) of (A − B)(A² + AB + B²) |
| Drie termen, eerste en laatste zijn volledige kwadraten | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| Drie termen, ax² + bx + c | Twee getallen met product ac en som b | De AC-methode, hieronder |
| Vier termen | Paren delen een haakje | Ontbinden door te groeperen |
| Al het andere | Een rationaal nulpunt p/q | Deel eruit (qx − p) en herhaal |
De AC-methode: 6x² + x − 12
- Vermenigvuldig a en c. 6 × (−12) = −72.
- Zoek twee getallen die vermenigvuldigd −72 geven en opgeteld b = 1: dat zijn −8 en 9.
- Splits de middelste term. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- Groepeer en ontbind elk paar. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- Haal het gedeelde haakje eruit. (3x − 4)(2x + 3).
Als a = 1 wordt de methode de bekende snelkoppeling: voor x² + 5x + 6 zoek je twee getallen met product 6 en som 5 — 2 en 3 — en schrijf je (x + 2)(x + 3). Bestaat er geen zo’n geheel getallenpaar, dan is de discriminant b² − 4ac geen kwadraat en is de kwadratische veelterm priem over de gehele getallen.
Andere uitgewerkte voorbeelden
| Veelterm | Methode | Ontbonden vorm |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | GGD 3x, dan verschil van kwadraten (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | Verschil van kubussen (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | Groeperen: x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | Rationaal nulpunt x = 1/2, dan de kwadratische veelterm | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | Twee kwadratische factoren (identiteit van Sophie Germain) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
Wat “priem” hier betekent
Een veelterm is priem (of irreducibel) over de gehele getallen wanneer hij niet te schrijven is als product van veeltermen van lagere graad met gehele coëfficiënten. x² + 4 en x² + x + 1 zijn priem. Priem hangt af van het getallenstelsel: x² − 2 is priem over de gehele getallen, maar ontbindt als (x − √2)(x + √2) over de reële getallen, en x² + 4 ontbindt als (x − 2i)(x + 2i) over de complexe getallen. Deze calculator ontbindt over de rationale getallen, en bij veeltermen met gehele coëfficiënten geeft dat hetzelfde resultaat als ontbinden over de gehele getallen.
Beperkingen
Kwadratische en derdegraads veeltermen worden altijd volledig ontbonden. Vanaf graad 4 gebruikt de calculator patronen, groeperen, rationale nulpunten en een zoektocht naar twee kwadratische factoren. Een factor die geen van deze methoden splitst, wordt gemeld als overgebleven, met een opmerking, in plaats van priem genoemd.
Veelgemaakte fouten
- De GGD overslaan. 2x² + 10x + 12 is makkelijker als 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). Haal altijd eerst de gemeenschappelijke factor eruit.
- Tekenfouten in de AC-stap. Is c negatief, dan hebben de twee getallen tegengestelde tekens; is c positief, dan hebben ze hetzelfde teken, namelijk het teken van b.
- Proberen een som van kwadraten te ontbinden. x² + 9 is priem over de gehele getallen; alleen een verschil van kwadraten ontbindt.
- De kubusformules door elkaar halen. Het middelste teken van het tweede haakje is altijd tegengesteld aan het teken van het eerste: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) en A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
- Te vroeg stoppen. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) is nog niet af: x² − 4 ontbindt weer verder.
Veelgestelde vragen
- Hoe ontbind je een trinoom ax² + bx + c?
- Gebruik de AC-methode. Vermenigvuldig a en c, zoek twee getallen die vermenigvuldigd ac geven en opgeteld b, splits de middelste term met die getallen, ontbind elk paar en haal het gedeelde haakje eruit. Als a = 1 heb je alleen twee getallen nodig met product c en som b.
- Wat is de formule voor het verschil van kwadraten?
- A² − B² = (A − B)(A + B). Die geldt als een binomium een volledig kwadraat min een volledig kwadraat is, zoals 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Een som van kwadraten zoals x² + 25 ontbindt niet over de gehele getallen.
- Wat zijn de formules voor de som en het verschil van kubussen?
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) en A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Bij 27x³ − 1 is A = 3x en B = 1, dus ontbindt hij als (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
- Hoe weet ik of een veelterm priem is?
- Bij een kwadratische veelterm controleer je de discriminant b² − 4ac: is die geen kwadraat, dan zijn er geen rationale nulpunten en is de veelterm priem over de gehele getallen. Een derdegraads veelterm is priem als hij geen rationaal nulpunt heeft. Voor hogere graden bestaat geen eenvoudige test.
- Wat is ontbinden door te groeperen?
- Bij vier termen maak je twee paren, haal je de grootste gemene deler uit elk paar, en als de haakjes gelijk zijn, haal je het haakje eruit. x³ + 2x² + 3x + 6 wordt x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
- Waarom is de gemeenschappelijke factor soms negatief?
- Als de hoofdcoëfficiënt negatief is, haalt de calculator een negatieve gemeenschappelijke factor eruit, zodat de veelterm binnen het haakje met een positieve term begint. −2x² + 8 wordt −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Beide conventies zijn juist; controleer welke jouw cursus verwacht.
- Kan ik een ontbinding zelf controleren?
- Ja, werk de factoren weer uit. Krijg je de oorspronkelijke veelterm, dan klopt de ontbinding. De calculator doet dat voor je in de laatste controle.