Calcolatore di Fattorizzazione
Inserisci un polinomio e ottieni la sua fattorizzazione completa sugli interi, con ogni passaggio scritto: il massimo comun divisore, poi differenza di quadrati, quadrati perfetti, somme e differenze di cubi, il metodo AC per ax² + bx + c, il raggruppamento o il teorema delle radici razionali. I fattori vengono moltiplicati di nuovo come verifica, e un polinomio che non si può fattorizzare si dice primo. Gratuito, senza registrazione.
Una lettera, per esempio 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 o 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. Le potenze si scrivono con ^ o come apici.
Forma fattorizzata
(3x − 4)(2x + 3)
Fattorizzazione
Fattorizzato completamente
Stato
Passo per passo
Metodo AC: moltiplica a × c = 6 × (−12) = −72. Trova due numeri il cui prodotto è −72 e la cui somma è b = 1: sono −8 e 9.
Spezza il termine centrale usando questi due numeri.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Raggruppa i termini a coppie e raccogli il fattore comune in ogni coppia.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
Le due coppie ora hanno una parentesi in comune; raccoglila.
(3x − 4)(2x + 3)
Verifica sviluppando
Moltiplicando di nuovo i fattori si ottiene 6x² + x − 12, il polinomio inserito.
Come usare il calcolatore di fattorizzazione
- 1. Scrivi il polinomio. Per esempio 6x^2 + x − 12 o x^3 + 8. Usa una sola lettera; le potenze si possono scrivere con ^ o come apici, e le parentesi vengono sviluppate per prime.
- 2. Leggi la forma fattorizzata. Compare come prodotto, con i fattori ripetuti scritti come potenze, e il calcolatore dice se il polinomio è primo.
- 3. Segui i passaggi. Ogni riga indica il metodo usato e mostra il polinomio prima e dopo, nell'ordine in cui un insegnante proverebbe i metodi.
- 4. Verifica. I fattori vengono sviluppati e confrontati con ciò che hai scritto.
L'ordine in cui provare i metodi
| Cerca | Schema | Si fattorizza come |
|---|---|---|
| Un fattore comune in tutti i termini | ab + ac | a(b + c) — sempre per primo, incluso il segno meno se il termine iniziale è negativo |
| Due termini, entrambi quadrati perfetti, sottratti | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| Due termini, entrambi cubi perfetti | A³ + B³ oppure A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) oppure (A − B)(A² + AB + B²) |
| Tre termini, primo e ultimo quadrati perfetti | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| Tre termini, ax² + bx + c | Due numeri con prodotto ac e somma b | Il metodo AC, qui sotto |
| Quattro termini | Le coppie condividono una parentesi | Fattorizzazione per raggruppamento |
| Tutto il resto | Una radice razionale p/q | Dividi per (qx − p) e ripeti |
Il metodo AC: 6x² + x − 12
- Moltiplica a e c. 6 × (−12) = −72.
- Trova due numeri il cui prodotto è −72 e la cui somma è b = 1: sono −8 e 9.
- Spezza il termine centrale. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- Raggruppa e fattorizza ogni coppia. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- Raccogli la parentesi comune. (3x − 4)(2x + 3).
Quando a = 1 il metodo si riduce alla scorciatoia nota: per x² + 5x + 6 cerca due numeri con prodotto 6 e somma 5 — 2 e 3 — e scrivi (x + 2)(x + 3). Se non esiste una coppia intera del genere, il discriminante b² − 4ac non è un quadrato perfetto e il quadratico è primo sugli interi.
Altri esempi svolti
| Polinomio | Metodo | Forma fattorizzata |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | MCD 3x, poi differenza di quadrati (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | Differenza di cubi (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | Raggruppamento: x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | Radice razionale x = 1/2, poi il quadratico | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | Due quadratici (identità di Sophie Germain) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
Che cosa significa «primo» qui
Un polinomio è primo (o irriducibile) sugli interi quando non può essere scritto come prodotto di polinomi di grado inferiore con coefficienti interi. x² + 4 e x² + x + 1 sono primi. «Primo» dipende dal sistema numerico: x² − 2 è primo sugli interi, ma si fattorizza come (x − √2)(x + √2) sui reali, e x² + 4 si fattorizza come (x − 2i)(x + 2i) sui complessi. Questo calcolatore fattorizza sui razionali, il che, per polinomi a coefficienti interi, dà lo stesso risultato della fattorizzazione sugli interi.
Limiti
Quadratici e cubici vengono sempre fattorizzati completamente. Per grado 4 e superiore il calcolatore usa schemi, raggruppamento, radici razionali e una ricerca di due fattori quadratici. Un fattore che nessuna di queste strategie scompone viene segnalato come residuo, con una nota, invece di essere dichiarato primo.
Errori comuni
- Saltare l'MCD. 2x² + 10x + 12 è più semplice come 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). Raccogli sempre per primo il fattore comune.
- Errori di segno nel passo AC. Se c è negativo, i due numeri hanno segni opposti; se c è positivo, hanno lo stesso segno, quello di b.
- Cercare di fattorizzare una somma di quadrati. x² + 9 è primo sugli interi; solo una differenza di quadrati si fattorizza.
- Confondere le formule dei cubi. Il segno centrale della seconda parentesi è sempre opposto al segno della prima: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) e A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
- Fermarsi troppo presto. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) non è finito: x² − 4 si fattorizza ancora.
Domande frequenti
- Come si fattorizza un trinomio ax² + bx + c?
- Usa il metodo AC. Moltiplica a e c, trova due numeri il cui prodotto è ac e la cui somma è b, spezza il termine centrale con questi due numeri, fattorizza ogni coppia e raccogli la parentesi comune. Quando a = 1 bastano due numeri con prodotto c e somma b.
- Qual è la formula della differenza di quadrati?
- A² − B² = (A − B)(A + B). Vale quando un binomio è un quadrato perfetto meno un quadrato perfetto, come 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Una somma di quadrati come x² + 25 non si fattorizza sugli interi.
- Quali sono le formule della somma e della differenza di cubi?
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) e A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Per 27x³ − 1, A = 3x e B = 1, quindi si fattorizza come (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
- Come faccio a sapere se un polinomio è primo?
- Per un quadratico, controlla il discriminante b² − 4ac: se non è un quadrato perfetto, non ci sono radici razionali e il quadratico è primo sugli interi. Un cubico è primo quando non ha radici razionali. Per gradi superiori non esiste un test semplice.
- Che cos'è la fattorizzazione per raggruppamento?
- Per quattro termini, dividili in due coppie, raccogli il massimo comun divisore da ciascuna e, se le parentesi coincidono, raccogli la parentesi. x³ + 2x² + 3x + 6 diventa x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
- Perché a volte il fattore comune è negativo?
- Quando il coefficiente direttivo è negativo, il calcolatore raccoglie un fattore comune negativo, così il polinomio dentro la parentesi inizia con un segno positivo. −2x² + 8 diventa −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Entrambe le convenzioni sono corrette; controlla quale richiede il tuo corso.
- Posso verificare da solo una fattorizzazione?
- Sì, moltiplica di nuovo i fattori. Se ottieni il polinomio originale, la fattorizzazione è corretta. Il calcolatore lo fa per te nella verifica finale.