Calcolatore di numeri complessi

Risultato

Il procedimento

1. Per dividere, moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del divisore. Così il denominatore diventa un numero reale.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. Il denominatore diventa c² + d², che è reale.

   1² + (−2)² = 5

3. Sviluppa il numeratore.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. Dividi la parte reale e la parte immaginaria per il denominatore.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

Piano complesso

Come usare il calcolatore di numeri complessi

1. 1. Scegli che cosa ti serve. L'aritmetica lavora su due numeri, z₁ e z₂. La forma polare lavora su z₁. Potenze e radici richiedono z₁ e un numero intero n da 2 a 24.
2. 2. Digita i numeri. Scrivi 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i oppure (1 + i)(2 − i). Usa i, o j se sei abituato alla notazione ingegneristica. Frazioni e decimali vengono letti in modo esatto.
3. 3. Leggi il risultato. Somme, prodotti, quozienti e potenze intere sono frazioni esatte. Moduli, argomenti e radici sono mostrati in forma esatta quando possibile e come approssimazioni a quattro decimali altrimenti.
4. 4. Segui il procedimento e il diagramma. Ogni passaggio è scritto per esteso, e i numeri sono disegnati come frecce sul piano complesso.

Aritmetica in forma algebrica

La moltiplicazione è il normale sviluppo con un fatto in più, i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. La divisione usa il coniugato, perché (c + di)(c − di) = c² + d² è un numero reale. Per (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) il denominatore diventa 1² + (−2)² = 5 e il numeratore diventa (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, quindi il quoziente è (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.

Modulo, argomento e forma polare

Il modulo |z| = √(a² + b²) è la distanza dall'origine. L'argomento θ è l'angolo rispetto all'asse reale positivo. Questo calcolatore fornisce il valore principale, con −π < θ ≤ π, e tiene conto del quadrante: arctan(b/a) nel primo e nel quarto, più 180° nel secondo, meno 180° nel terzo. Per z = 3 + 4i:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0,9273 rad = 53,1301°
Forma polare:        5(cos 53,1301° + i sin 53,1301°)
Forma esponenziale:  5 × e^(i × 0,9273)

Sugli assi o sulle diagonali l'argomento è un semplice multiplo di π/4, e il calcolatore lo scrive in forma esatta: −1 + i ha modulo √2 e argomento 3π/4. Lo zero ha modulo 0 ma nessun argomento, quindi non ha forma polare.

Potenze e radici: il teorema di De Moivre

Il teorema di De Moivre afferma che (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ): si eleva il modulo alla potenza e si moltiplica l'angolo per essa. Per esempio (1 + i)⁸ ha modulo (√2)⁸ = 16 e angolo 8 × 45° = 360°, quindi vale esattamente 16. Il calcolatore sviluppa la potenza in modo esatto e mostra accanto il calcolo di De Moivre come verifica.

Ogni numero diverso da zero ha esattamente n radici n-esime distinte. Hanno lo stesso modulo r^(1/n) e angoli (θ + 360°k)/n per k = 0, 1, …, n − 1, quindi si trovano ai vertici di un poligono regolare centrato nell'origine. Le radici cubiche di −8, che ha modulo 8 e argomento π, hanno modulo 2 e angoli π/3, π e 5π/3: 1 + 1,7321i, −2 e 1 − 1,7321i. Le radici quadrate di 3 + 4i sono esattamente 2 + i e −2 − i.

Potenze di i

Per trovare iⁿ, dividi n per 4 e usa il resto: i⁵⁷ = i¹ = i perché 57 = 4 × 14 + 1.

Errori comuni

• Dimenticare i² = −1 nelle moltiplicazioni: il termine bd cambia segno, quindi (ac − bd), non (ac + bd).
• Dividere senza il coniugato. Moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore è ciò che elimina i dal denominatore.
• Usare arctan(b/a) in ogni quadrante. L'arcotangente di una calcolatrice restituisce solo valori da −90° a 90°, quindi i numeri nel secondo e nel terzo quadrante richiedono ±180°.
• Riportare una sola radice. z^(1/n) ha n valori; la radice principale è solo quella con k = 0.
• Mescolare gradi e radianti dentro seno e coseno. 53,13° e 0,9273 rad sono lo stesso angolo.

Domande frequenti

Come si dividono i numeri complessi?

Moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. Il nuovo denominatore è c² + d², un numero reale, e dividi la parte reale e quella immaginaria del nuovo numeratore per esso. Per (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) la risposta è −1 + 2i.

Quali sono il modulo e l'argomento di un numero complesso?

Il modulo è la lunghezza √(a² + b²), cioè la distanza dall'origine sul piano complesso. L'argomento è l'angolo dall'asse reale positivo al numero, tra −180° e 180° per il valore principale. Insieme danno la forma polare r(cos θ + i sin θ).

Che cos'è la forma esponenziale di un numero complesso?

Per la formula di Eulero, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, quindi z = r(cos θ + i sin θ) si può scrivere come re^(iθ), con θ in radianti. Per 3 + 4i è 5e^(0,9273i). Rende facile la moltiplicazione: si moltiplicano i moduli e si sommano gli angoli.

Che cos'è il teorema di De Moivre?

Afferma che (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, e quindi zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Trasforma le potenze in una variazione di modulo e angolo e, con un esponente frazionario, fornisce le radici n-esime.

Quante radici n-esime ha un numero complesso?

Esattamente n, se il numero non è zero. Hanno lo stesso modulo e angoli distanziati di 360°/n, quindi formano un poligono regolare di n lati. Un numero reale come −8 ha tre radici cubiche: una reale e due complesse.

Che cos'è il coniugato di un numero complesso?

Il coniugato di a + bi è a − bi. Moltiplicare un numero per il suo coniugato dà il numero reale a² + b², il quadrato del modulo. I coniugati si usano per la divisione e per accoppiare le radici complesse dei polinomi reali.

Perché l'argomento di 0 non è definito?

Lo zero è l'origine, che sta in ogni direzione contemporaneamente, quindi nessun singolo angolo lo descrive. Il suo modulo è 0, e il calcolatore segnala quando una forma polare o una radice non sono disponibili.