Calculadora de números complejos
Introduce números complejos como 3 + 4i y obtén resultados exactos de suma, resta, multiplicación y división, con el procedimiento. Cambia a la forma polar para el módulo, el argumento y la forma de Euler, o a potencias y raíces mediante el teorema de De Moivre, con cada raíz listada y dibujada en el plano complejo. Gratis, sin registro.
Escríbelo como 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i o (1 + i)(2 − i). Usa i (o j) para la unidad imaginaria.
Resultados
−1 + 2i
Resultado
−1 + 2i
Como decimales
2,2361
Módulo |z|
116,5651°
Argumento θ
El procedimiento
Para dividir, multiplica arriba y abajo por el conjugado del divisor. Así el denominador pasa a ser un número real.
(3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)
El denominador se convierte en c² + d², que es real.
1² + (−2)² = 5
Desarrolla el numerador.
(3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i
Divide la parte real y la imaginaria entre el denominador.
(−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i
Plano complejo
Cómo usar la calculadora de números complejos
- 1. Elige lo que necesitas. La aritmética trabaja con dos números, z₁ y z₂. La forma polar trabaja con z₁. Las potencias y las raíces toman z₁ y un número entero n de 2 a 24.
- 2. Escribe los números. Escribe 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i o incluso (1 + i)(2 − i). Usa i, o j si estás acostumbrado a la notación de ingeniería. Las fracciones y los decimales se leen con exactitud.
- 3. Lee el resultado. Las sumas, los productos, los cocientes y las potencias enteras son fracciones exactas. Los módulos, los argumentos y las raíces se muestran de forma exacta cuando es posible, y como aproximaciones de cuatro decimales en otro caso.
- 4. Sigue el procedimiento y el diagrama. Cada paso está escrito, y los números se dibujan como flechas en el plano complejo.
Aritmética en forma rectangular
| Operación | Regla | Ejemplo con 3 + 4i y 1 − 2i |
|---|---|---|
| Suma | (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i | 4 + 2i |
| Resta | (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i | 2 + 6i |
| Multiplicación | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i | 11 − 2i |
| División | Multiplica arriba y abajo por el conjugado c − di | −1 + 2i |
La multiplicación es una expansión ordinaria con un hecho adicional, i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. La división usa el conjugado, porque (c + di)(c − di) = c² + d² es un número real. Para (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) el denominador se convierte en 1² + (−2)² = 5 y el numerador en (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, así que el cociente es (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.
Módulo, argumento y forma polar
El módulo |z| = √(a² + b²) es la distancia al origen. El argumento θ es el ángulo desde el eje real positivo. Esta calculadora da el valor principal, con −π < θ ≤ π, y ajusta según el cuadrante: arctan(b/a) en el primero y el cuarto, más 180° en el segundo, menos 180° en el tercero. Para z = 3 + 4i:
|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5 θ = atan2(4; 3) = 0,9273 rad = 53,1301° Forma polar: 5(cos 53,1301° + i sen 53,1301°) Forma exponencial: 5 × e^(i × 0,9273)
En un eje o en una diagonal, el argumento es un múltiplo sencillo de π/4, y la calculadora lo escribe de forma exacta: −1 + i tiene módulo √2 y argumento 3π/4. El cero tiene módulo 0 pero no tiene argumento, así que no tiene forma polar.
Potencias y raíces: el teorema de De Moivre
El teorema de De Moivre dice que (r(cos θ + i sen θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ): se eleva el módulo a la potencia y se multiplica el ángulo por ella. Por ejemplo, (1 + i)⁸ tiene módulo (√2)⁸ = 16 y ángulo 8 × 45° = 360°, así que es igual a 16 exactamente. La calculadora desarrolla la potencia de forma exacta y muestra junto a ella el cálculo de De Moivre como comprobación.
Todo número distinto de cero tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas. Comparten el módulo r^(1/n) y tienen ángulos (θ + 360°k)/n para k = 0, 1, …, n − 1, así que se sitúan en los vértices de un polígono regular centrado en el origen. Las raíces cúbicas de −8, que tiene módulo 8 y argumento π, tienen módulo 2 y ángulos π/3, π y 5π/3: 1 + 1,7321i, −2 y 1 − 1,7321i. Las raíces cuadradas de 3 + 4i son exactamente 2 + i y −2 − i.
Potencias de i
| i⁰ | i¹ | i² | i³ | i⁴ | luego se repite |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | i | −1 | −i | 1 | i⁵ = i, i⁶ = −1, … |
Para hallar iⁿ, divide n entre 4 y usa el resto: i⁵⁷ = i¹ = i porque 57 = 4 × 14 + 1.
Errores comunes
- Olvidar i² = −1 al multiplicar: el término bd cambia de signo, así que es (ac − bd), no (ac + bd).
- Dividir sin el conjugado. Multiplicar arriba y abajo por el conjugado del denominador es lo que elimina i del denominador.
- Tomar arctan(b/a) en todos los cuadrantes. El arctan de una calculadora solo devuelve valores de −90° a 90°, así que los números del segundo y del tercer cuadrante necesitan ±180°.
- Dar solo una raíz. z^(1/n) tiene n valores; la raíz principal es solo k = 0.
- Mezclar grados y radianes dentro de cos y sen. 53,13° y 0,9273 rad son el mismo ángulo.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se dividen números complejos?
- Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El nuevo denominador es c² + d², un número real, y divides la parte real y la imaginaria del nuevo numerador entre él. Para (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) la respuesta es −1 + 2i.
- ¿Qué son el módulo y el argumento de un número complejo?
- El módulo es la longitud √(a² + b²), la distancia al origen en el plano complejo. El argumento es el ángulo desde el eje real positivo hasta el número, entre −180° y 180° para el valor principal. Juntos dan la forma polar r(cos θ + i sen θ).
- ¿Qué es la forma exponencial de un número complejo?
- Según la fórmula de Euler, e^(iθ) = cos θ + i sen θ, así que z = r(cos θ + i sen θ) puede escribirse como re^(iθ), con θ en radianes. Para 3 + 4i es 5e^(0,9273i). Facilita la multiplicación: se multiplican los módulos y se suman los ángulos.
- ¿Qué dice el teorema de De Moivre?
- Afirma que (cos θ + i sen θ)ⁿ = cos nθ + i sen nθ, y por tanto zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ). Convierte las potencias en un cambio de módulo y de ángulo, y con un exponente fraccionario da las raíces n-ésimas.
- ¿Cuántas raíces n-ésimas tiene un número complejo?
- Exactamente n, si el número no es cero. Tienen el mismo módulo y ángulos separados 360°/n, así que forman un polígono regular de n lados. Un número real como −8 tiene tres raíces cúbicas: una real y dos complejas.
- ¿Cuál es el conjugado de un número complejo?
- El conjugado de a + bi es a − bi. Multiplicar un número por su conjugado da el número real a² + b², el cuadrado del módulo. Los conjugados se usan para la división y para emparejar las raíces complejas de polinomios reales.
- ¿Por qué el argumento de 0 no está definido?
- El cero es el origen, que está en todas las direcciones a la vez, así que ningún ángulo único lo describe. Su módulo es 0, y la calculadora indica cuándo no hay forma polar ni raíz disponible.