Calculator voor complexe getallen

Resultaat

De uitwerking

1. Om te delen, vermenigvuldig je de teller en de noemer met de geconjugeerde van de deler. Zo wordt de noemer een reëel getal.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. De noemer wordt c² + d², wat reëel is.

   1² + (−2)² = 5

3. Werk de teller uit.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. Deel het reële en het imaginaire deel door de noemer.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

Complex vlak

Zo gebruik je de calculator voor complexe getallen

1. 1. Kies wat je nodig hebt. Rekenen werkt op twee getallen, z₁ en z₂. Poolvorm werkt op z₁. Machten en wortels nemen z₁ en een geheel getal n van 2 tot 24.
2. 2. Typ de getallen. Schrijf 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i of zelfs (1 + i)(2 − i). Gebruik i, of j als je aan elektrotechnische notatie gewend bent. Breuken en decimale getallen worden exact gelezen.
3. 3. Lees het resultaat. Sommen, producten, quotiënten en gehele machten zijn exacte breuken. Modulus, argumenten en wortels worden exact weergegeven waar dat kan, en anders als benadering met vier decimalen.
4. 4. Volg de uitwerking en het diagram. Elke stap is uitgeschreven, en de getallen worden als pijlen in het complexe vlak getekend.

Rekenen in rechthoekige vorm

Vermenigvuldigen is gewoon uitwerken met één extra feit, i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. Delen gebruikt de geconjugeerde, omdat (c + di)(c − di) = c² + d² een reëel getal is. Voor (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) wordt de noemer 1² + (−2)² = 5 en wordt de teller (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, dus het quotiënt is (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.

Modulus, argument en poolvorm

De modulus |z| = √(a² + b²) is de afstand tot de oorsprong. Het argument θ is de hoek vanaf de positieve reële as. Deze calculator geeft de hoofdwaarde, met −π < θ ≤ π, en corrigeert voor het kwadrant: arctan(b/a) in het eerste en vierde, plus 180° in het tweede, min 180° in het derde. Voor z = 3 + 4i:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4; 3) = 0,9273 rad = 53,1301°
Poolvorm:          5(cos 53,1301° + i sin 53,1301°)
Exponentiële vorm: 5 × e^(i × 0,9273)

Op een as of een diagonaal is het argument een eenvoudig veelvoud van π/4, en de calculator schrijft het exact: −1 + i heeft modulus √2 en argument 3π/4. Nul heeft modulus 0 maar geen argument, dus het heeft geen poolvorm.

Machten en wortels: de stelling van De Moivre

De stelling van De Moivre zegt dat (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ): verhef de modulus tot de macht en vermenigvuldig de hoek ermee. Bijvoorbeeld (1 + i)⁸ heeft modulus (√2)⁸ = 16 en hoek 8 × 45° = 360°, dus het is exact gelijk aan 16. De calculator werkt de macht exact uit en toont de De Moivre-berekening ernaast als controle.

Elk niet-nul getal heeft precies n verschillende n-de wortels. Ze delen de modulus r^(1/n) en hebben hoeken (θ + 360°k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1, dus ze liggen op de hoekpunten van een regelmatige veelhoek rond de oorsprong. De derdemachtswortels van −8, dat modulus 8 en argument π heeft, hebben modulus 2 en hoeken π/3, π en 5π/3: 1 + 1,7321i, −2 en 1 − 1,7321i. De vierkantswortels van 3 + 4i zijn exact 2 + i en −2 − i.

Machten van i

Om iⁿ te vinden, deel je n door 4 en gebruik je de rest: i⁵⁷ = i¹ = i omdat 57 = 4 × 14 + 1.

Veelgemaakte fouten

• i² = −1 vergeten bij het vermenigvuldigen: de bd-term wisselt van teken, dus (ac − bd), niet (ac + bd).
• Delen zonder de geconjugeerde. Teller en noemer vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer is wat i uit de noemer haalt.
• arctan(b/a) in elk kwadrant nemen. De arctan van een rekenmachine geeft alleen −90° tot 90° terug, dus getallen in het tweede en derde kwadrant hebben ±180° nodig.
• Slechts één wortel tonen. z^(1/n) heeft n waarden; de hoofdwortel is alleen k = 0.
• Graden en radialen door elkaar halen binnen cos en sin. 53,13° en 0,9273 rad zijn dezelfde hoek.

Veelgestelde vragen

Hoe deel je complexe getallen?

Vermenigvuldig de teller en de noemer met de geconjugeerde van de noemer. De nieuwe noemer is c² + d², een reëel getal, en je deelt het reële en het imaginaire deel van de nieuwe teller erdoor. Voor (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) is het antwoord −1 + 2i.

Wat zijn de modulus en het argument van een complex getal?

De modulus is de lengte √(a² + b²), de afstand tot de oorsprong in het complexe vlak. Het argument is de hoek vanaf de positieve reële as tot het getal, tussen −180° en 180° voor de hoofdwaarde. Samen geven ze de poolvorm r(cos θ + i sin θ).

Wat is de exponentiële vorm van een complex getal?

Volgens de formule van Euler is e^(iθ) = cos θ + i sin θ, dus z = r(cos θ + i sin θ) kan worden geschreven als re^(iθ), met θ in radialen. Voor 3 + 4i is dat 5e^(0,9273i). Het maakt vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de hoeken op.

Wat is de stelling van De Moivre?

Ze stelt dat (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, en dus zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Ze verandert machten in een verandering van modulus en hoek, en met een breuk als exponent levert ze de n-de wortels op.

Hoeveel n-de wortels heeft een complex getal?

Precies n, als het getal niet nul is. Ze hebben dezelfde modulus en hoeken die 360°/n uit elkaar liggen, dus ze vormen een regelmatige n-hoek. Een reëel getal als −8 heeft drie derdemachtswortels: één reële en twee complexe.

Wat is de geconjugeerde van een complex getal?

De geconjugeerde van a + bi is a − bi. Vermenigvuldigen van een getal met zijn geconjugeerde levert het reële getal a² + b² op, het kwadraat van de modulus. Geconjugeerden worden gebruikt voor delen en om de complexe wortels van reële veeltermen te paren.

Waarom is het argument van 0 niet gedefinieerd?

Nul is de oorsprong, die in alle richtingen tegelijk ligt, dus geen enkele hoek beschrijft hem. Zijn modulus is 0, en de calculator laat je weten wanneer een poolvorm of wortel niet beschikbaar is.