복소수 계산기

결과

계산 과정

1. 나누려면 분자와 분모에 나누는 수의 켤레복소수를 곱합니다. 그러면 분모가 실수가 됩니다.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. 분모는 c² + d²가 되며, 이것은 실수입니다.

   1² + (−2)² = 5

3. 분자를 전개합니다.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. 실수부와 허수부를 각각 분모로 나눕니다.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

복소평면

복소수 계산기 사용 방법

1. 1. 필요한 것을 고르세요. 사칙연산은 두 수 z₁과 z₂에 대해, 극형식은 z₁에 대해 작동합니다. 거듭제곱과 거듭제곱근은 z₁과 2에서 24 사이의 정수 n을 받습니다.
2. 2. 수를 입력하세요. 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i, 또는 (1 + i)(2 − i)처럼 쓰세요. 허수 단위는 i를 쓰며, 공학 표기에 익숙하다면 j를 써도 됩니다. 분수와 소수는 정확히 읽습니다.
3. 3. 결과를 읽으세요. 합, 곱, 몫, 정수 거듭제곱은 정확한 분수로 나옵니다. 절댓값, 편각, 거듭제곱근은 가능한 경우 정확한 형태로, 그렇지 않으면 소수 넷째 자리 근사값으로 나옵니다.
4. 4. 계산 과정과 그림을 따라가세요. 각 단계가 적히고, 수는 복소평면에 화살표로 그려집니다.

직각좌표형식에서의 사칙연산

곱셈은 평범한 전개에 한 가지 사실을 더한 것입니다. i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. 나눗셈은 켤레복소수를 씁니다. (c + di)(c − di) = c² + d²는 실수이기 때문입니다. (3 + 4i) ÷ (1 − 2i)에서 분모는 1² + (−2)² = 5가 되고, 분자는 (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i가 되므로, 몫은 (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i입니다.

절댓값, 편각과 극형식

절댓값 |z| = √(a² + b²)은 원점으로부터의 거리입니다. 편각 θ는 양의 실수축에서 잰 각입니다. 이 계산기는 주값을 주며, 범위는 −π < θ ≤ π이고, 사분면에 맞춰 조정합니다. 1사분면과 4사분면에서는 arctan(b/a), 2사분면에서는 여기에 180°를 더하고, 3사분면에서는 180°를 뺍니다. z = 3 + 4i의 경우:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0.9273 rad = 53.1301°
극형식:           5(cos 53.1301° + i sin 53.1301°)
지수형식:         5 × e^(i × 0.9273)

축이나 대각선 위의 수는 편각이 π/4의 간단한 배수이므로 계산기가 이를 정확히 씁니다. 예: −1 + i는 절댓값이 √2이고 편각은 3π/4입니다. 0은 절댓값이 0이지만 편각이 없으므로 극형식이 없습니다.

거듭제곱과 거듭제곱근: 드무아브르의 정리

드무아브르의 정리는 (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)라고 말합니다. 즉 절댓값은 거듭제곱하고 각은 지수를 곱합니다. 예를 들어 (1 + i)⁸은 절댓값이 (√2)⁸ = 16이고, 각은 8 × 45° = 360°이므로 정확히 16입니다. 계산기는 거듭제곱을 정확히 전개하고, 검산으로 드무아브르 계산을 옆에 보여 줍니다.

0이 아닌 모든 수는 정확히 n개의 서로 다른 n제곱근을 가집니다. 이들은 절댓값 r^(1/n)을 공유하며, 각은 (θ + 360°k)/n (k = 0, 1, …, n − 1)이므로 원점을 중심으로 한 정다각형의 꼭짓점에 놓입니다. 절댓값이 8이고 편각이 π인 −8의 세제곱근은 절댓값이 2이고 각은 π/3, π, 5π/3입니다. 즉 1 + 1.7321i, −2, 1 − 1.7321i입니다. 3 + 4i의 제곱근은 정확히 2 + i와 −2 − i입니다.

i의 거듭제곱

iⁿ을 구하려면 n을 4로 나눈 나머지를 쓰세요. 예: i⁵⁷ = i¹ = i이며, 57 = 4 × 14 + 1이기 때문입니다.

흔한 실수

• 곱셈에서 i² = −1을 잊기. bd 항의 부호가 바뀌므로 (ac + bd)가 아니라 (ac − bd)입니다.
• 켤레복소수 없이 나누기. 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱해야 분모에서 i가 사라집니다.
• 모든 사분면에서 arctan(b/a)를 쓰기. 계산기의 arctan은 −90°에서 90°까지만 돌려주므로, 2사분면과 3사분면의 수는 ±180°가 필요합니다.
• 근을 하나만 보고하기. z^(1/n)은 n개의 값을 가지며, 주근은 k = 0일 때뿐입니다.
• cos와 sin 안에서 도와 라디안을 섞기. 53.13°와 0.9273 rad은 같은 각입니다.

자주 묻는 질문

복소수는 어떻게 나누나요?

분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요. 새 분모는 실수인 c² + d²이며, 새 분자의 실수부와 허수부를 이 값으로 나눕니다. (3 + 4i) ÷ (1 − 2i)의 답은 −1 + 2i입니다.

복소수의 절댓값과 편각은 무엇인가요?

절댓값은 길이 √(a² + b²)로, 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다. 편각은 양의 실수축에서 그 수까지 잰 각이며, 주값으로는 −180°에서 180° 사이입니다. 둘을 합치면 극형식 r(cos θ + i sin θ)이 됩니다.

복소수의 지수형식은 무엇인가요?

오일러 공식 e^(iθ) = cos θ + i sin θ에 따라, z = r(cos θ + i sin θ)는 re^(iθ)로 쓸 수 있으며 θ는 라디안입니다. 3 + 4i의 경우 5e^(0.9273i)입니다. 곱셈이 쉬워지는데, 절댓값은 곱하고 각은 더하기 때문입니다.

드무아브르의 정리는 무엇인가요?

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ이며, 따라서 zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)라고 말합니다. 거듭제곱을 절댓값과 각의 변화로 바꿔 주며, 분수 지수와 함께 쓰면 n제곱근을 줍니다.

복소수는 몇 개의 n제곱근을 가지나요?

0이 아니라면 정확히 n개입니다. 이들은 같은 절댓값과 360°/n 간격의 각을 가지므로 정n각형을 이룹니다. −8 같은 실수도 세제곱근을 세 개 가지며, 하나는 실수이고 둘은 복소수입니다.

복소수의 켤레복소수란 무엇인가요?

a + bi의 켤레복소수는 a − bi입니다. 어떤 수에 그 켤레복소수를 곱하면 실수 a² + b², 즉 절댓값의 제곱이 됩니다. 켤레복소수는 나눗셈과 실계수 다항식의 복소근 짝짓기에 쓰입니다.

0의 편각은 왜 정의되지 않나요?

0은 원점이며, 원점은 모든 방향에 동시에 있으므로 하나의 각으로 나타낼 수 없습니다. 절댓값은 0이고, 극형식이나 근을 쓸 수 없을 때 계산기가 그렇게 알려 줍니다.