حاسبة الأعداد المركّبة

النتائج

خطوات الحل

1. للقسمة، اضرب البسط والمقام في مرافق المقسوم عليه. فيصبح المقام عددًا حقيقيًا.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. يصبح المقام c² + d²، وهو عدد حقيقي.

   1² + (−2)² = 5

3. افرد البسط.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. اقسم الجزأين الحقيقي والتخيلي على المقام.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

المستوى المركّب

كيفية استخدام حاسبة الأعداد المركّبة

1. 1. اختر ما تحتاجه. الحساب يعمل على العددين z₁ وz₂. والصيغة القطبية تعمل على z₁. والقوى والجذور تأخذ z₁ وعددًا صحيحًا n من 2 إلى 24.
2. 2. اكتب الأعداد. اكتب 3 + 4i أو −2i أو 1/2 − 3/4 i أو حتى (1 + i)(2 − i). استخدم i، أو j إذا كنت معتادًا على رمز الهندسة الكهربائية. تُقرأ الكسور والأعداد العشرية بدقة.
3. 3. اقرأ النتيجة. المجاميع والحواصل والقسمات والقوى الصحيحة كسور دقيقة. أما المقاييس والعمد والجذور فتُعرض بصيغة دقيقة حيثما أمكن، وبتقريب من أربع منازل عشرية في غير ذلك.
4. 4. تابع الخطوات والرسم. تُكتب كل خطوة كاملة، وتُرسم الأعداد أسهمًا على المستوى المركّب.

الحساب في الصيغة الجبرية

الضرب توسيع جبري عادي مع حقيقة إضافية واحدة، هي i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. وتستخدم القسمة المرافق، لأن (c + di)(c − di) = c² + d² عدد حقيقي. ففي (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) يصبح المقام 1² + (−2)² = 5، ويصبح البسط (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i، فيكون الناتج (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.

المقياس والعمدة والصيغة القطبية

المقياس |z| = √(a² + b²) هو المسافة من نقطة الأصل. والعمدة θ هي الزاوية من المحور الحقيقي الموجب. تعطي الحاسبة القيمة الأساسية، بحيث −π < θ ≤ π، وتعدّل بحسب الربع: arctan(b/a) في الربعين الأول والرابع، وزائد 180° في الثاني، وناقص 180° في الثالث. وللعدد z = 3 + 4i:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0.9273 rad = 53.1301°
الصيغة القطبية:  5(cos 53.1301° + i sin 53.1301°)
الصيغة الأسية:   5 × e^(i × 0.9273)

على المحور أو القطر تكون العمدة مضاعفًا بسيطًا للعدد π/4، وتكتبها الحاسبة بصيغة دقيقة: العدد −1 + i مقياسه √2 وعمدته 3π/4. والصفر مقياسه 0 ولا عمدة له، لذلك لا توجد له صيغة قطبية.

القوى والجذور: نظرية دي موافر

تنص نظرية دي موافر على أن (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ): ارفع المقياس إلى القوة، واضرب العمدة فيها. فمثلًا (1 + i)⁸ مقياسه (√2)⁸ = 16 وعمدته 8 × 45° = 360°، فيساوي 16 تمامًا. وتحسب الحاسبة القوة بالضرب المباشر بدقة، وتعرض حساب دي موافر بجانبها للتحقق.

لكل عدد غير صفري n من الجذور النونية المتمايزة بالضبط. وتتشارك هذه الجذور المقياس r^(1/n) وتكون زواياها (θ + 360°k)/n حيث k = 0، 1، …، n − 1، فتقع على رؤوس مضلّع منتظم مركزه نقطة الأصل. وجذور التكعيب للعدد −8، الذي مقياسه 8 وعمدته π، مقياسها 2 وزواياها π/3 وπ و5π/3: أي 1 + 1.7321i و−2 و1 − 1.7321i. والجذران التربيعيان للعدد 3 + 4i هما بالضبط 2 + i و−2 − i.

قوى i

لإيجاد iⁿ اقسم n على 4 واستخدم الباقي: i⁵⁷ = i¹ = i لأن 57 = 4 × 14 + 1.

أخطاء شائعة

• نسيان i² = −1 عند الضرب: يتغيّر إشارة الحد bd، فيكون (ac − bd) لا (ac + bd).
• القسمة دون المرافق. ضرب البسط والمقام في مرافق المقام هو ما يزيل i من المقام.
• أخذ arctan(b/a) في كل ربع. دالة arctan في الآلة الحاسبة لا تعيد إلا القيم من −90° إلى 90°، لذلك تحتاج الأعداد في الربعين الثاني والثالث إلى ±180°.
• عرض جذر واحد فقط. z^(1/n) له n قيمة؛ والجذر الأساسي هو k = 0 وحده.
• الخلط بين الدرجات والراديان داخل cos وsin. فـ53.13° و0.9273 راديان هما الزاوية نفسها.

الأسئلة الشائعة

كيف تقسم الأعداد المركّبة؟

اضرب البسط والمقام في مرافق المقام. والمقام الجديد هو c² + d²، وهو عدد حقيقي، ثم تقسم الجزأين الحقيقي والتخيلي للبسط الجديد عليه. فبالنسبة إلى (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) تكون الإجابة −1 + 2i.

ما المقياس والعمدة لعدد مركّب؟

المقياس هو الطول √(a² + b²)، أي المسافة من نقطة الأصل على المستوى المركّب. والعمدة هي الزاوية من المحور الحقيقي الموجب إلى العدد، بين −180° و180° للقيمة الأساسية. ومعًا يعطيان الصيغة القطبية r(cos θ + i sin θ).

ما الصيغة الأسية لعدد مركّب؟

وفق صيغة أويلر، e^(iθ) = cos θ + i sin θ، فيمكن كتابة z = r(cos θ + i sin θ) على الصورة re^(iθ)، مع θ بالراديان. فالعدد 3 + 4i يصبح 5e^(0.9273i). وهذا يسهل الضرب: اضرب المقاييس واجمع الزوايا.

ما نظرية دي موافر؟

تنص على أن (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ، ومن ثم zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). فهي تحوّل القوى إلى تغيير في المقياس والزاوية، ومع أس كسري تعطي الجذور النونية.

كم جذرًا نونيًا لعدد مركّب؟

بالضبط n، إذا لم يكن العدد صفرًا. ولها المقياس نفسه وزوايا متباعدة بمقدار 360°/n، فتشكّل مضلّعًا منتظمًا ذا n ضلعًا. أما العدد الحقيقي مثل −8 فله ثلاثة جذور تكعيبية: واحد حقيقي واثنان مركّبان.

ما مرافق العدد المركّب؟

مرافق a + bi هو a − bi. وضرب العدد في مرافقه يعطي العدد الحقيقي a² + b²، وهو مربع المقياس. وتُستخدم المرافقات في القسمة، ولإيجاد الجذور المركّبة المترافقة لكثيرات الحدود الحقيقية.

لماذا تكون عمدة الصفر غير معرّفة؟

لأن الصفر هو نقطة الأصل، وهي تقع في كل الاتجاهات في آنٍ واحد، فلا توصف بزاوية واحدة. ومقياسه 0، وتخبرك الحاسبة متى لا تتوفر صيغة قطبية أو جذر.