حاسبة القيم الذاتية
أدخل مصفوفة مربعة حتى 6 × 6 لتحصل على قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية، وكثير الحدود المميّز، وفحوص الأثر والمحدِّد، والتقطير A = PDP⁻¹ عندما يكون موجودًا. تأتي القيم الذاتية دقيقة — كالكسور أو الجذور أو الأعداد المركّبة — كلما سمح كثير الحدود بذلك، وبطريقة عددية في غير ذلك. مجانية، دون تسجيل، وكل شيء يعمل داخل متصفحك.
أعداد صحيحة أو عشرية أو كسور مثل 3/4.
النتائج
القيم الذاتية (مكررة بحسب التعدد الجبري)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
الأثر
10
المحدِّد
دقيقة
الطريقة
لا
متماثلة؟
نعم
قابلة للتقطير؟
تحقق: القيم الذاتية تجمع إلى الأثر، 7، وتضرب إلى المحدِّد، 10.
كثير الحدود المميّز
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- مبرهنة الجذر النسبي: الجذر النسبي هو قاسم الحد الثابت مقسومًا على قاسم المعامل الرئيسي. الجذور الموجودة: 2, 5.
القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
كل متجه ذاتي يحل (A − λI)v = 0. وأي مضاعف غير صفري له متجه ذاتي أيضًا.
λ = 2
التعدد الجبري 1، والتعدد الهندسي 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
التعدد الجبري 1، والتعدد الهندسي 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
التقطير
تشكّل المتجهات الذاتية أعمدة P، وA = P D P⁻¹ حيث D المصفوفة القطرية للقيم الذاتية.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
كيفية استخدام حاسبة القيم الذاتية
- 1. اختر الحجم. اختر n من 2 إلى 6 واملأ المصفوفة n × n. تُقرأ الكسور مثل 3/4 والأعداد العشرية بدقة.
- 2. اقرأ القيم الذاتية. تُعرض مع التكرار بحسب التعدد الجبري، إلى جانب الأثر والمحدِّد فحصًا سريعًا: مجموع القيم الذاتية يساوي الأثر، وحاصل ضربها يساوي المحدِّد.
- 3. تابع كثير الحدود المميّز. تكتب الحاسبة p(λ) = det(λI − A)، وتستخرج جذوره النسبية، وتحل ما يبقى بصيغة المعادلة التربيعية.
- 4. افحص المتجهات الذاتية. لكل قيمة ذاتية ترى A − λI وأساسًا لفضائها الذاتي، إضافة إلى P وD عندما تكون A قابلة للتقطير على الأعداد النسبية.
ما القيم الذاتية والمتجهات الذاتية؟
المتجه الذاتي للمصفوفة المربعة A هو متجه v غير صفري تكتفي A بتمديده دون أن تديره: Av = λv. والعدد القياسي λ هو القيمة الذاتية. وبإعادة الترتيب، لا يكون للمعادلة (A − λI)v = 0 حل غير صفري إلا إذا كانت A − λI شاذّة، أي حين يتحقق det(A − λI) = 0. وتلك المعادلة هي المعادلة المميّزة، وكثير الحدود هو كثير الحدود المميّز. تستخدم هذه الحاسبة الصيغة المونيّة det(λI − A)، وهي تختلف عن det(A − λI) بالعامل (−1)ⁿ فقط ولها الجذور نفسها.
| المصطلح | المعنى |
|---|---|
| التعدد الجبري | عدد المرات التي تكون فيها λ جذرًا لكثير الحدود المميّز |
| التعدد الهندسي | بُعد الفضاء الذاتي: عدد المتجهات الذاتية المستقلة الخاصة بـ λ |
| قابلة للتقطير | لدى A n متجهًا ذاتيًا مستقلًا، فتكون A = PDP⁻¹؛ ويشترط ذلك تساوي التعدد الهندسي والجبري لكل قيمة ذاتية |
| معيبة | لبعض القيم الذاتية تعدد هندسي أقل من تعددها الجبري |
التعدد الهندسي لا يتجاوز التعدد الجبري أبدًا. والمصفوفات الحقيقية المتماثلة قابلة للتقطير دائمًا، وقيمها الذاتية حقيقية.
الإجابات الدقيقة والإجابات العددية
يُحسب كثير الحدود المميّز بدقة تامة، فلا يدخل فيه أي تقريب. تُوجد الجذور النسبية بمبرهنة الجذر النسبي وتُقسم عليها. فإن بقيت معادلة تربيعية، أعطتنا صيغتها القيمتين الذاتيتين الباقيتين في صورة مغلقة، بما فيهما المركّبتان، وتُحل المتجهات الذاتية بدقة في النظام العددي نفسه. ويغطي ذلك كل مصفوفة 2 × 2، وكل مصفوفة 3 × 3 لها جذر نسبي في كثير حدودها المميّز، والمصفوفات الأكبر التي تنقسم إلى جذور نسبية وعامل تربيعي واحد.
وحين لا ينقسم كثير الحدود على هذا النحو — كمكعب غير قابل للتحليل، أو رباعي بجذور غير نسبية — تنتقل الحاسبة إلى خوارزمية QR بدقة الفاصلة العائمة المزدوجة. فتختزل المصفوفة إلى صيغة Hessenberg، وتطبّق خطوات QR مُزاحة حتى يتلاشى القطر الفرعي، وتجد المتجهات الذاتية بالتكرار العكسي. ويُتوقع نحو عشر منازل صحيحة لمصفوفة جيدة التهيئة (well-conditioned). والقيمة الذاتية التي يقل جزؤها التخيلي عن 10⁻⁹ من حجمها تُعرض حقيقية، وتذكر الصفحة الطريقة التي استُخدمت.
أمثلة محلولة
A = [4 1; 2 3]. الأثر 7 والمحدِّد 10، لذا p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). وعند λ = 2 يكون المتجه الذاتي (1, −2)، وعند λ = 5 يكون (1, 1). إذن أعمدة P هي (1, −2) و(1, 1)، وD = diag(2, 5)، وA = PDP⁻¹.
A = [1 1; 1 0] (مصفوفة فيبوناتشي). هنا p(λ) = λ² − λ − 1 مميّزها 5 ولا جذور نسبية له، فالقيمتان الذاتيتان هما (1 + √5)/2 ≈ 1.618034 — النسبة الذهبية — و(1 − √5)/2 ≈ −0.618034، والمتجه الذاتي للأولى هو ((1 + √5)/2, 1).
A = [0 −1; 1 0]، وهو دوران بزاوية 90°، له p(λ) = λ² + 1، فقيمتاه الذاتيتان هما i و−i: لا يوجد متجه حقيقي يحتفظ باتجاهه. مصفوفة التبديل الدوري ذات الصفوف (0, 1, 0)، و(0, 0, 1)، و(1, 0, 0) لها p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1)، فقيمها الذاتية 1 وجذور الواحد التكعيبية المركّبة (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] لها λ = 2 بتعدد جبري 2 لكن باتجاه متجه ذاتي واحد فقط، لذا فهي معيبة ولا يمكن تقطيرها.
المصفوفة ثلاثية القطر (tridiagonal) 4 × 4 ذات 2 على القطر و−1 بجانبه لها طيف غير نسبي، لذا تُحسب عدديًا: قيمها الذاتية 0.381966 و1.381966 و2.618034 و3.618034، وهي تطابق 2 − 2cos(kπ/5) من أجل k = 1 إلى 4.
الأسئلة الشائعة
- كيف أجد القيم الذاتية لمصفوفة 2×2؟
- احسب الأثر والمحدِّد، واكتب λ² − (الأثر)λ + (المحدِّد) = 0 وحلّها. وبالنسبة إلى [4 1; 2 3] تكون المعادلة λ² − 7λ + 10 = 0، فتكون λ = 2 وλ = 5. وإذا كان المميّز سالبًا فالقيم الذاتية مترافقات مركّبة.
- كيف أجد المتجهات الذاتية بعد معرفة القيم الذاتية؟
- لكل قيمة ذاتية λ حل المعادلة (A − λI)v = 0، عادةً بالاختزال الصفي. والحلول تكوّن الفضاء الذاتي؛ وأي متجه غير صفري فيه متجه ذاتي، لذلك لا تُحدَّد المتجهات الذاتية إلا حتى مضاعف قياسي.
- هل يمكن لمصفوفة حقيقية أن تملك قيمًا ذاتية مركّبة؟
- نعم. تأتي القيم الذاتية المركّبة لمصفوفة حقيقية في أزواج مترافقة. ودوران المستوى بزاوية غير 0° أو 180° لا يملك متجهًا ذاتيًا حقيقيًا، لذلك تكون قيمه الذاتية مركّبة.
- ماذا يعني أن تكون إحدى القيم الذاتية صفرًا؟
- تكون المصفوفة شاذّة: فالمحدِّد هو حاصل ضرب القيم الذاتية، لذلك det A = 0، والمتجهات الذاتية للقيمة 0 هي الحلول غير الصفرية للمعادلة Ax = 0. ويخبرك تعدد الصفر بمقدار الفضاء الذي تختزله المصفوفة.
- متى تكون المصفوفة قابلة للتقطير؟
- عندما تملك n متجهًا ذاتيًا مستقلًا خطيًا. فالقيم الذاتية المتمايزة تضمن ذلك، وكذلك المصفوفة الحقيقية المتماثلة. وقد تفسد قيمة ذاتية مكررة الأمر إذا كان فضاؤها الذاتي صغيرًا جدًا، كما في [2 1; 0 2].
- لماذا تظهر بعض القيم الذاتية كأعداد عشرية؟
- بالنسبة إلى المصفوفات 5 × 5 و6 × 6، ولمكعبات لا تملك جذرًا نسبيًا، لا توجد صيغة جذور تطبّقها هذه الأداة، فتستخدم خوارزمية QR. وهذه القيم دقيقة حتى نحو عشر منازل؛ أما كثير الحدود المميّز المعروض بجانبها فيبقى دقيقًا.