ما صيغة المسافة؟

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) في المستوى، ويُضاف إليها حد (z₂ − z₁)² في الفضاء. وهي تنتج من نظرية فيثاغورس: الفرقان الأفقي والرأسي هما ضلعا قائم الزاوية، والمسافة هي وتره.

كيف أجد نقطة منتصف قطعة؟

تُحسب متوسطات الإحداثيات: اجمع قيمتي x وأنصِفهما، واجمع قيمتي y وأنصِفهما (وكذلك z). نقطة منتصف (−2, 3) و(4, −1) هي (1, 1).

كيف أجد الطرف الآخر عندما أعرف طرفًا ونقطة المنتصف؟

ضاعف نقطة المنتصف واطرح الطرف المعلوم، إحداثيًا بإحداثي: P₂ = 2M − P₁. فالمنتصف يقع في منتصف القطعة تمامًا، والطرف المجهول يبعد عن M بقدر ما يبعد عنها الطرف المعلوم، لكن في الاتجاه المقابل.

ما صيغة التقسيم؟

هي الصيغة التي تعطي النقطة التي تقسم قطعة بنسبة معيّنة. للتقسيم الداخلي بالنسبة m : n النقطة هي (n·P₁ + m·P₂)/(m + n)؛ وللتقسيم الخارجي هي (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). ونقطة المنتصف حالة خاصة عندما تكون m = n.

هل يؤثر ترتيب النقطتين في المسافة؟

لا. تبديل النقطتين يغيّر إشارة كل فرق، والفروق تُربَّع، فتبقى المسافة نفسها. أما في صيغة التقسيم فالترتيب مهم، لأن النسبة m : n تُقاس من P₁ إلى P₂.

لماذا تبقى المسافة على صورة جذر تربيعي؟

الجذر مثل √52 هو المسافة الدقيقة، أما العدد العشري فتقريب. تبسّط الحاسبة الجذر (√52 = 2√13) وتعطي العدد العشري أيضًا، فيمكنك استخدام القيمة الدقيقة في البرهان والعشرية في القياس.

حاسبة المسافة ونقطة المنتصف

أدخل نقطتين في المستوى أو في الفضاء لتحصل على المسافة بينهما في أبسط صورة جذرية (ومعها الكسر العشري)، ونقطة منتصفهما، والنقطة التي تقسم القطعة بأي نسبة m : n. بدّل الأوضاع لإيجاد الطرف الآخر عندما تعرف طرفًا ونقطة المنتصف. تُكتب خطوات الحل كاملةً، وفي الأبعاد الثنائية تُرسم القطعة بمقياس صحيح. مجاني ودون تسجيل.

ماذا تريد أن تجد؟

المسافة ونقطة المنتصف ونقطة التقسيمالطرف الآخر، انطلاقًا من نقطة المنتصف

البعد

ثنائي الأبعاد (x, y)ثلاثي الأبعاد (x, y, z)

النقطة P₁

P₁، x

P₁، y

النقطة P₂

P₂، x

P₂، y

صيغة التقسيم: قسّم P₁P₂ بالنسبة m : n

نوع التقسيم

داخلي (نقطة على القطعة)خارجي (نقطة على الخط خلف أحد الطرفين)

أعداد صحيحة أو كسور عشرية أو كسور، مثل 3/4.

النتائج

2√13 ≈ 7.211103

المسافة

(1, 1)

نقطة المنتصف

مربع المسافة

خطوات الحل

d = √(مجموع مربعات الفروق في x, y)

d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.211103

√52 = √(4 × 13) = 2√13

M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)

M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)

صيغة التقسيم

(0, 5/3)

النقطة التي تقسم P₁P₂ داخليًا بالنسبة 1 : 2

S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)

S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)

الرسم التخطيطي

كيفية استخدام حاسبة المسافة ونقطة المنتصف

1. اختر البعد ووضعًا. الوضع الأول يقيس المسافة بين نقطتين، والوضع الثاني يجد طرفًا من نقطة ونقطة المنتصف.
2. أدخل الإحداثيات. تبقى الأعداد الصحيحة والكسور العشرية والكسور مثل 1/2 دقيقة، فالمسافة √13 لا تتحول أبدًا إلى 3.6055.
3. اقرأ المسافة ونقطة المنتصف. تظهر المسافة في أبسط صورة جذرية مع تقريب عشري، وتظهر نقطة المنتصف ككسر أو كعدد عشري.
4. جرّب صيغة التقسيم. حدّد m وn واختر التقسيم الداخلي أو الخارجي لإيجاد النقطة التي تقسم القطعة بتلك النسبة. وفي الأبعاد الثنائية تُرسم القطعة ونقطة المنتصف ونقطة التقسيم.

الصيغ

الكمية	ثنائي الأبعاد	ثلاثي الأبعاد
المسافة	d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)	d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
نقطة المنتصف	((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)	((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2)
النقطة التي تقسم P₁P₂ داخليًا بالنسبة m : n	(n·P₁ + m·P₂) / (m + n)	الصيغة نفسها تُطبَّق على كل إحداثي
النقطة التي تقسم P₁P₂ خارجيًا بالنسبة m : n	(m·P₂ − n·P₁) / (m − n)	الصيغة نفسها تُطبَّق على كل إحداثي
الطرف الآخر، عند معرفة P₁ ونقطة المنتصف M	P₂ = 2M − P₁	الصيغة نفسها تُطبَّق على كل إحداثي

صيغة المسافة هي نظرية فيثاغورس مطبَّقةً على الفرق الأفقي والرأسي بين النقطتين: هذان الفرقان هما ضلعا مثلث قائم الزاوية وتره هو القطعة نفسها. وفي الفضاء ينطبق المبدأ نفسه مرتين. ونقطة المنتصف هي ببساطة متوسط كل إحداثي، وهي نقطة التقسيم للنسبة 1 : 1.

أمثلة تطبيقية

المسافة ونقطة المنتصف في ثنائي الأبعاد. للنقطتين P₁ = (−2, 3) وP₂ = (4, −1) الفرقان 6 و−4، إذن d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.211103. ونقطة المنتصف هي ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1).
صيغة التقسيم. النقطة التي تقسم القطعة نفسها داخليًا بالنسبة 1 : 2 هي ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3). وهي تقع على ثلث المسافة من P₁ إلى P₂.
التقسيم الخارجي. للنقطتين P₁ = (0, 0) وP₂ = (4, 0)، تعطي النسبة 3 : 1 خارجيًا النقطة ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0)، وهي نقطة تقع خلف P₂.
المسافة في الفضاء. من (1, 2, 3) إلى (4, −2, 15) الفروق 3 و−4 و12، إذن d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13، ونقطة المنتصف هي (5/2, 0, 9).
الطرف الناقص. إذا كان أحد الطرفين (1, 2) ونقطة المنتصف (5/2, 4)، فالطرف الآخر هو (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6).

التقسيم الداخلي والخارجي

القول إن نقطة تقسم P₁P₂ بالنسبة m : n يعني أن مسافتيها إلى P₁ وP₂ متناسبتان بنسبة m إلى n. في التقسيم الداخلي تقع النقطة بين الطرفين، ويكون m/(m + n) من الطول على جهة P₁. أما في التقسيم الخارجي فتقع النقطة على الخط نفسه لكن خارج القطعة: خلف P₂ إذا كان m > n، وخلف P₁ إذا كان m < n. ولا توجد نقطة خارجية للنسبة 1 : 1، لأن الصيغة ستقسم على صفر. ومن استخدامات نقاط التقسيم تقسيم قطعة مستقيمة إلى أجزاء متساوية، وإيجاد مركز الثقل، وحساب الإحداثيات الوسيطة بين نقطتين معلومتين.

الأسئلة الشائعة

ما صيغة المسافة؟: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) في المستوى، ويُضاف إليها حد (z₂ − z₁)² في الفضاء. وهي تنتج من نظرية فيثاغورس: الفرقان الأفقي والرأسي هما ضلعا قائم الزاوية، والمسافة هي وتره.
كيف أجد نقطة منتصف قطعة؟: تُحسب متوسطات الإحداثيات: اجمع قيمتي x وأنصِفهما، واجمع قيمتي y وأنصِفهما (وكذلك z). نقطة منتصف (−2, 3) و(4, −1) هي (1, 1).
كيف أجد الطرف الآخر عندما أعرف طرفًا ونقطة المنتصف؟: ضاعف نقطة المنتصف واطرح الطرف المعلوم، إحداثيًا بإحداثي: P₂ = 2M − P₁. فالمنتصف يقع في منتصف القطعة تمامًا، والطرف المجهول يبعد عن M بقدر ما يبعد عنها الطرف المعلوم، لكن في الاتجاه المقابل.
ما صيغة التقسيم؟: هي الصيغة التي تعطي النقطة التي تقسم قطعة بنسبة معيّنة. للتقسيم الداخلي بالنسبة m : n النقطة هي (n·P₁ + m·P₂)/(m + n)؛ وللتقسيم الخارجي هي (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). ونقطة المنتصف حالة خاصة عندما تكون m = n.
هل يؤثر ترتيب النقطتين في المسافة؟: لا. تبديل النقطتين يغيّر إشارة كل فرق، والفروق تُربَّع، فتبقى المسافة نفسها. أما في صيغة التقسيم فالترتيب مهم، لأن النسبة m : n تُقاس من P₁ إلى P₂.
لماذا تبقى المسافة على صورة جذر تربيعي؟: الجذر مثل √52 هو المسافة الدقيقة، أما العدد العشري فتقريب. تبسّط الحاسبة الجذر (√52 = 2√13) وتعطي العدد العشري أيضًا، فيمكنك استخدام القيمة الدقيقة في البرهان والعشرية في القياس.