Kalkulator Jarak dan Titik Tengah
Masukkan dua titik pada bidang atau dalam ruang, lalu dapatkan jarak di antara keduanya dalam bentuk akar paling sederhana (dengan desimalnya di sebelah), titik tengahnya, dan titik yang membagi ruas dengan perbandingan m : n yang mana pun. Ganti mode untuk mencari titik ujung lain jika Anda mengetahui satu titik ujung dan titik tengahnya. Langkah penyelesaiannya ditulis lengkap dan, dalam 2D, ruas digambar sesuai skala. Gratis, tanpa perlu mendaftar.
Bilangan bulat, desimal, atau pecahan seperti 3/4.
Hasil
2√13 ≈ 7,211103
Jarak
(1, 1)
Titik tengah
52
Jarak kuadrat
Langkah penyelesaian
d = √(jumlah selisih kuadrat pada x, y)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
Rumus pembagian ruas
(0, 5/3)
Titik yang membagi P₁P₂ secara internal 1 : 2
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
Diagram
Cara Menggunakan Kalkulator Jarak dan Titik Tengah
- 1. Pilih 2D atau 3D dan sebuah mode. Mode pertama mengukur jarak antara dua titik; mode kedua mencari titik ujung dari sebuah titik dan titik tengahnya.
- 2. Masukkan koordinatnya. Bilangan bulat, desimal, dan pecahan seperti 1/2 disimpan secara tepat, sehingga jarak √13 tidak pernah berubah menjadi 3,6055.
- 3. Baca jarak dan titik tengah. Jarak ditampilkan dalam bentuk akar paling sederhana dengan pendekatan desimal; titik tengah ditampilkan sebagai pecahan atau bilangan desimal.
- 4. Coba rumus pembagian ruas. Atur m dan n lalu pilih pembagian internal atau eksternal untuk mencari titik yang membagi ruas dengan perbandingan itu. Dalam 2D, ruas, titik tengah, dan titik pembagi diplot.
Rumus-Rumus
| Besaran | 2D | 3D |
|---|---|---|
| Jarak | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Titik tengah | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| Titik yang membagi P₁P₂ secara internal m : n | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | sama, diterapkan pada setiap koordinat |
| Titik yang membagi P₁P₂ secara eksternal m : n | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | sama, diterapkan pada setiap koordinat |
| Titik ujung lain, jika P₁ dan titik tengah M diketahui | P₂ = 2M − P₁ | sama, diterapkan pada setiap koordinat |
Rumus jarak adalah teorema Pythagoras yang diterapkan pada selisih horizontal dan vertikal antara kedua titik: keduanya menjadi kaki segitiga siku-siku yang sisi miringnya adalah ruas tersebut. Dalam 3D, gagasan yang sama diterapkan dua kali. Titik tengah sekadar rata-rata setiap koordinat, dan itu adalah titik pembagi untuk perbandingan 1 : 1.
Contoh Kasus
- Jarak dan titik tengah dalam 2D. Untuk P₁ = (−2, 3) dan P₂ = (4, −1), selisihnya 6 dan −4, sehingga d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. Titik tengahnya ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1).
- Rumus pembagian ruas. Titik yang membagi ruas yang sama secara internal dengan perbandingan 1 : 2 adalah ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3). Titik itu berada sepertiga jarak dari P₁ ke P₂.
- Pembagian eksternal. Untuk P₁ = (0, 0) dan P₂ = (4, 0), perbandingan 3 : 1 secara eksternal memberikan ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0), yaitu titik di luar P₂.
- Jarak dalam 3D. Dari (1, 2, 3) ke (4, −2, 15) selisihnya 3, −4 dan 12, sehingga d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, dan titik tengahnya (5/2, 0, 9).
- Titik ujung yang hilang. Jika salah satu titik ujung adalah (1, 2) dan titik tengahnya (5/2, 4), maka titik ujung lainnya adalah (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6).
Pembagian Internal dan Eksternal
Menyatakan bahwa sebuah titik membagi P₁P₂ dengan perbandingan m : n berarti jaraknya ke P₁ dan P₂ berbanding m terhadap n. Untuk pembagian internal, titik berada di antara keduanya, dengan m/(m + n) panjang di sisi P₁. Untuk pembagian eksternal, titik berada pada garis tetapi di luar ruas: di luar P₂ jika m > n, di luar P₁ jika m < n. Perbandingan 1 : 1 tidak memiliki titik eksternal, karena rumusnya akan membagi dengan nol. Titik pembagi dipakai untuk membagi ruas garis menjadi bagian yang sama, untuk mencari titik berat, dan untuk menginterpolasi koordinat di antara dua titik yang sudah diketahui.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Apa rumus jarak?
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) pada bidang, dengan suku (z₂ − z₁)² ditambahkan dalam ruang. Rumus ini berasal dari teorema Pythagoras: selisih horizontal dan vertikal adalah dua kaki segitiga siku-siku, dan jarak adalah sisi miringnya.
- Bagaimana cara mencari titik tengah ruas garis?
- Rata-ratakan koordinatnya: jumlahkan dua nilai x lalu bagi dua, jumlahkan dua nilai y lalu bagi dua (dan demikian juga untuk z). Titik tengah dari (−2, 3) dan (4, −1) adalah (1, 1).
- Bagaimana cara mencari titik ujung jika titik ujung lain dan titik tengahnya diketahui?
- Gandakan titik tengah lalu kurangi dengan titik ujung yang diketahui, koordinat demi koordinat: P₂ = 2M − P₁. Titik tengah berada tepat di tengah, sehingga titik ujung yang tidak diketahui berada di seberang M dengan jarak yang sama seperti titik ujung yang diketahui di sisi lainnya.
- Apa itu rumus pembagian ruas?
- Rumus ini memberikan titik yang membagi ruas dengan perbandingan tertentu. Untuk pembagian internal dengan perbandingan m : n titiknya adalah (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); untuk pembagian eksternal, titiknya adalah (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). Titik tengah adalah kasus khusus dengan m = n.
- Apakah urutan titik memengaruhi jarak?
- Tidak. Menukar kedua titik mengubah tanda setiap selisih, dan selisih itu dikuadratkan, sehingga jaraknya sama. Urutan memang berpengaruh pada rumus pembagian ruas, karena m : n diukur dari P₁ ke P₂.
- Mengapa jarak dibiarkan dalam bentuk akar?
- Akar seperti √52 adalah jarak yang tepat; desimal merupakan pembulatan. Kalkulator ini menyederhanakannya (√52 = 2√13) dan juga memberikan desimalnya, sehingga Anda bisa memakai nilai tepat dalam pembuktian dan desimal dalam pengukuran.