距离与中点计算器
输入平面或空间中的两个点,即可得到它们之间以最简根式表示的距离(旁边附小数),以及中点和按任意比 m : n 分割线段的点。切换模式,即可在已知一个端点和中点时求出另一端点。计算过程会逐步写出,在二维中线段会按比例绘制。免费,无需注册。
整数、小数或分数,例如 3/4。
结果
2√13 ≈ 7.211103
距离
(1, 1)
中点
52
距离的平方
计算过程
d = √(各x, y差值的平方和)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
分点公式
(0, 5/3)
将 P₁P₂ 内分为 1 : 2 的点
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
示意图
如何使用距离与中点计算器
- 1. 选择二维或三维以及模式。第一种模式用于计算两点之间的距离、中点和分点;第二种模式由一个点和中点求另一端点。
- 2. 输入坐标。 整数、小数以及 1/2 之类的分数都会保持精确,因此 √13 的距离不会变成 3.6055。
- 3. 读取距离与中点。 距离以最简根式给出,并附十进制近似值;中点以分数或小数的形式显示。
- 4. 尝试分点公式。 设定 m 和 n,并选择内分或外分,即可求出按该比例分割线段的点。在二维中,线段、中点和分点会被绘出。
公式
| 项目 | 二维 | 三维 |
|---|---|---|
| 距离 | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| 中点 | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| 按 m : n 内分 P₁P₂ 的点 | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | 相同,对每个坐标分别应用 |
| 按 m : n 外分 P₁P₂ 的点 | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | 相同,对每个坐标分别应用 |
| 已知 P₁ 与中点 M 时的另一端点 | P₂ = 2M − P₁ | 相同,对每个坐标分别应用 |
距离公式是勾股定理应用于两点之间水平和竖直方向的差值:这两个差值是直角三角形的两条直角边,而线段是斜边。在三维中,同样的思路应用两次。中点就是每个坐标的平均值,也是比为 1 : 1 时的分点。
示例
- 二维中的距离与中点。 对于 P₁ = (−2, 3) 和 P₂ = (4, −1),差值分别为 6 和 −4,因此 d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.211103。中点为 ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1)。
- 分点公式。 将同一线段按 1 : 2 内分的点为 ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3)。它位于从 P₁ 到 P₂ 三分之一处。
- 外分。 对于 P₁ = (0, 0) 和 P₂ = (4, 0),按 3 : 1 外分得到 ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0),这是位于 P₂ 之外的点。
- 三维中的距离。 从 (1, 2, 3) 到 (4, −2, 15),差值为 3、−4 和 12,因此 d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13,中点为 (5/2, 0, 9)。
- 缺失的端点。 若一个端点为 (1, 2),中点为 (5/2, 4),则另一端点为 (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6)。
内分与外分
说点 P 按比 m : n 分割 P₁P₂,即其到 P₁ 和 P₂ 的距离之比为 m 比 n。内分时该点位于两点之间,距 P₁ 一侧占长度的 m/(m + n)。外分时该点位于直线上但在线段之外:当 m > n 时位于 P₂ 之外,当 m < n 时位于 P₁ 之外。比为 1 : 1 时不存在外分点,因为公式会除以零。分点用于把线段分成等份、求三角形的重心,以及在两个已知点之间插值坐标。
常见问题
- 距离公式是什么?
- 二维中为 d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²),三维中再加上 (z₂ − z₁)² 一项。它来自勾股定理:水平和竖直方向的差值是直角三角形的两条直角边,距离就是斜边。
- 如何求线段的中点?
- 对坐标取平均值:两个 x 值相加再除以 2,两个 y 值相加再除以 2(z 同理)。(−2, 3) 与 (4, −1) 的中点是 (1, 1)。
- 已知另一端点和中点时如何求端点?
- 将中点的每个坐标乘以 2 再减去已知端点:P₂ = 2M − P₁。中点恰好位于中间,因此未知端点超出 M 的距离,与已知端点在 M 另一侧的距离相同。
- 什么是分点公式?
- 它给出按给定比例分割线段的点。内分比为 m : n 时,该点为 (n·P₁ + m·P₂)/(m + n);外分时为 (m·P₂ − n·P₁)/(m − n)。中点是 m = n 的特殊情形。
- 两点的顺序对距离有影响吗?
- 没有。交换两点会改变每个差值的符号,而差值要平方,因此距离相同。但顺序对分点公式有影响,因为 m : n 是从 P₁ 量到 P₂ 的。
- 为什么距离要保留为平方根?
- 像 √52 这样的平方根是精确距离;小数则是四舍五入的结果。计算器会将其化简(√52 = 2√13),同时给出小数,因此证明中可以使用精确值,测量中可以使用小数。