面积计算器
选择图形,用任意长度单位输入其测量值,即可得到面积的精确值——适用时以 π 或平方根表示——同时附有小数结果、代入您数字后的公式、带标注的图形,以及同一面积在其他单位下的数值。免费,无需注册;所有计算都在您的浏览器中完成。
结果
40 cm²
面积
其他测量值
| 测量项 | 精确值 | 小数 |
|---|---|---|
| 周长 | 26 cm | 26 cm |
| 对角线 | √89 cm | 9.43 cm |
计算过程
A = l × w
A = l × w = 8 × 5 = 40
图形
同一面积的其他单位
| 单位 | 面积 |
|---|---|
| mm² | 4,000 |
| cm² | 40 |
| m² | 0.004 |
| km² | 4E-9 |
| in² | 6.200012 |
| ft² | 0.04305564 |
| yd² | 0.00478396 |
| mi² | 1.5444E-9 |
| ha | 4E-7 |
| ac | 9.8842E-7 |
如何使用面积计算器
- 1. 选择图形。 正方形、长方形、三角形(由底和高,或由三条边给出)、平行四边形、梯形、菱形、正多边形、椭圆、圆环或圆扇形。
- 2. 输入测量值。 整数、小数以及 3/4 之类的分数都会被精确读取。可以所有测量值使用同一单位,也可以勾选方框为每个测量值设置各自的单位——例如 2 英尺乘 30 英寸也没有问题——然后选择答案的单位。
- 3. 阅读结果。 面积首先以精确形式给出(例如 15π 或 15√7/4),其后是按您选择的小数位数取整的小数值。图形本身附带的周长、对角线、边心距、弧长等其他测量值列在其下方。
- 4. 检查计算过程和图形。 公式会代入您的数字显示,带标注的图形大致按您输入的比例绘制。最后的表格给出同一面积在其他平方单位下的数值,每个单位均按长度换算系数的平方进行换算。
常见图形的面积公式
面积衡量平面图形所覆盖的表面,以平方单位计。以下每个公式都使用垂直高度——即与底边成直角量取的高度——而不是斜边的长度。
| 图形 | 面积 | 所需数据 |
|---|---|---|
| 正方形 | A = s² | 边长 s |
| 长方形 | A = l × w | 长 l 和宽 w |
| 三角形 | A = ½ × b × h | 底 b 和垂直高 h |
| 三角形(三条边) | A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)),其中 s = (a + b + c) / 2 | 边 a、b、c(海伦公式) |
| 平行四边形 | A = b × h | 底 b 和垂直高 h |
| 梯形 | A = ½ × (a + b) × h | 平行边 a 和 b,以及它们之间的高 |
| 菱形 | A = ½ × d₁ × d₂ | 两条对角线 |
| 正多边形 | A = n × s² / (4 × tan(180° / n)) | 边数 n 和边长 s |
| 椭圆 | A = π × a × b | 半轴 a 和 b(宽度和高度的一半) |
| 圆环 | A = π(R² − r²) | 外半径 R 和内半径 r |
| 圆扇形 | A = ½ × r² × θ = (θ / 360°) × π × r² | 半径 r 和圆心角 θ(第一种形式中为弧度) |
若需整圆、圆周长或圆弓形,请使用圆形计算器;本页讨论的是扇形,即从圆心到圆弧之间的扇面。
示例
- 梯形。 平行边为 3 和 5,高为 4:A = ½ × (3 + 5) × 4 = 16 平方单位。中位线即两条平行边的平均值,为 4。
- 由三条边求三角形面积。 边为 4、5 和 6,则 s = 7.5,所以 A = √(7.5 × 3.5 × 2.5 × 1.5) = 15√7/4 ≈ 9.92。无需高度。
- 正六边形。 边长为 2:A = 6 × 2² / (4 × tan 30°) = 6√3 ≈ 10.39。对于 3、4、6、8 和 12 条边,tan(180° / n) 是简单的根式,计算器会给出精确形式;其他边数则给出小数。
- 扇形。 半径为 3,圆心角为 60°:60° 即 π/3 弧度,所以 A = ½ × 3² × π/3 = 3π/2 ≈ 4.71,弧长为 r × θ = π ≈ 3.14。
面积单位:为何平方单位的换算方式不同
长度只需乘以一个换算系数,而面积要把这个系数平方。1 米等于 100 厘米,因此 1 平方米等于 100 × 100 = 10,000 平方厘米——而不是 100。混用单位是大多数面积错误的来源:2 英尺乘 30 英寸即 2 英尺 × 2.5 英尺 = 5 平方英尺,也就是 5 × 144 = 720 平方英寸。计算器会先把每个测量值精确换算为答案所用的单位,因此过程中不会产生任何取整误差。
| 长度 | 面积 |
|---|---|
| 1 m = 100 cm | 1 m² = 10,000 cm² |
| 1 ft = 12 in | 1 ft² = 144 in² |
| 1 yd = 3 ft | 1 yd² = 9 ft² |
| 1 mi = 5,280 ft | 1 mi² = 27,878,400 ft² |
| 1 acre = 43,560 ft² | 1 hectare = 10,000 m² |
常见错误
- 在平行四边形或梯形中,公式需要垂直高度时却使用了斜边。
- 在三角形、梯形、菱形和扇形的公式中漏掉了 ½。
- 公式要求弧度时却输入了度数——计算器两种都接受,但 A = ½r²θ 只有在 θ 为弧度时才成立。
常见问题
- 如何求图形的面积?
- 先确定图形,再测量其公式所需的数据——通常是一条底和一个垂直高,或两条边——然后代入数字。长方形的面积是长 × 宽,三角形是底 × 高的一半,以圆为基础的图形则涉及 π。相乘之前,请先把所有测量值统一为同一单位。
- 面积与周长有什么区别?
- 周长是图形外围的距离,以厘米等普通长度单位计。面积是图形内部的表面大小,以平方厘米等平方单位计。两个图形的周长可以相同而面积不同:边长 4 的正方形和长 7、宽 1 的长方形周长都是 16,但面积分别为 16 和 7。
- 如何换算平方单位,例如 m² 换算为 cm²?
- 把长度换算系数平方。因为 1 m = 100 cm,所以 1 m² = 100² = 10,000 cm²。同理 1 ft² = 12² = 144 in²。反方向则用除法:5,000 cm² 等于 0.5 m²。
- 只知道三条边时,如何求三角形的面积?
- 使用海伦公式。先求半周长 s = (a + b + c) / 2,然后 A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))。这三条边必须满足三角形不等式——最长边小于其余两边之和——否则不存在这样的三角形,计算器会予以提示。
- 正多边形的面积是多少?
- 对于边长为 s 的 n 边形,A = n × s² / (4 × tan(180° / n)),这等于边心距与周长乘积的一半。边长为 s 的正六边形面积为 3√3/2 × s²,正三角形的面积为 √3/4 × s²。
- 如何求扇形的面积?
- 取该圆心角占整圆的比例,再乘以 πr²:以度为单位时 A = (θ / 360°) × π × r²。以弧度表示时则为 A = ½ × r² × θ。90° 的扇形恰为整圆的四分之一。
- 为什么椭圆没有简单的周长公式?
- 精确的周长需要一个椭圆积分,它在初等函数中没有闭合形式。计算器会给出拉马努金近似公式 π[3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))],对于不太细长的椭圆它非常接近,而对于圆则是精确的。