如何求平均变化率?

用区间两端的函数值相减,再除以输入值之差:(f(b) − f(a))/(b − a)。若是数值表,读取两个 x 值对应的 y 值,然后做同样的计算。

平均变化率为负数意味着什么?

表示在该区间内输出整体减少,割线向下倾斜。它并不能说明中间发生了什么:函数可能先上升,随后下降得更多。

它与直线的斜率有何不同?

对于直线而言,任意区间上的平均变化率都相同,并等于斜率。对于曲线,它取决于所选的区间,因此需要瞬时变化率(即导数)这一概念。

变化率的单位是 y 的单位除以 x 的单位。若 y 为距离(米),x 为时间(秒),则变化率的单位是米每秒。在计算器中输入这两个单位,即可得到完整的语句。

在此语境下,中值定理是什么?

若 f 在 [a, b] 上连续并在其内部可导,则在 (a, b) 中至少存在一点 c,使该点的瞬时变化率 f′(c) 等于 [a, b] 上的平均变化率:c 处的切线与割线平行。计算器会以数值方法找出这样的点,并绘制一条切线。

能用于间距不均匀的数据吗?

可以。您选择的任意两个 x 值之间的变化率,对您的数据而言都是精确的;相邻变化率表也能处理间距不等的情况,因为每一行都除以它自己的 Δx。

平均变化率计算器

输入函数或数值表以及两个 x 值,即可得到两者之间的平均变化率,即割线的斜率。结果包括 Δy 和 Δx、割线方程、带有您单位的通俗语句(如每秒米数、每年美元数)、显示区间缩小时该变化率如何逼近瞬时变化率的表格,以及中值定理的那一点。免费,无需注册。

您的数据是

函数 f(x)

可使用 + − * / ^ 和括号。函数包括 sin、cos、tan、exp、ln、log(以 10 为底)、sqrt、abs 等。常数包括 pi 和 e。

起点 x = a

终点 x = b

数字或常数,例如 1、−2.5 或 pi/2。

y 的单位(可选)

x 的单位(可选)

结果

平均变化率

y 的变化量 Δy

x 的变化量 Δx

起点处的 y

终点处的 y

其含义

从 x = 1 到 x = 3,y 增加了,变化量为 8(x 变化了 2),平均每单位 x 变化 4。

割线

y = 4 x - 3

平均变化率就是经过 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 两点的割线斜率。

缩小区间

h	区间	平均变化率
1	[1, 2]	3
0.1	[1, 1.1]	2.1
0.01	[1, 1.01]	2.01
0.001	[1, 1.001]	2.001
0.0001	[1, 1.0001]	2.0001

在 [a, a + h] 上的平均变化率随 h → 0 趋近于瞬时变化率 f′(1) = 2。

中值定理

在 a 与 b 之间存在一点 c,该点的瞬时变化率 f′(c) 等于此平均变化率:c ≈ 2。

图像

y = f(x)
割线(斜率 4)
在 c 处与割线平行的切线

如何使用平均变化率计算器

1. 选择函数或数值表。 若是函数,请输入 f(x),例如 x^2 或 sin(x)。若是数据,请每行粘贴一对“x, y”;x 值可以任意排列。
2. 输入区间。 填写起点 a 和终点 b。若使用数值表,两者都必须是数据中出现的 x 值。
3. 如需要,添加单位。 输入 y 的单位(米)和 x 的单位(秒),即可将结果写成“每秒米数”这样的语句。
4. 阅读结果。 您将得到变化率、Δy 和 Δx、割线以及图像。若输入的是函数,还会看到极限表和中值定理的那一点。

公式

f 在 [a, b] 上的平均变化率为 (f(b) − f(a)) / (b − a)——即输出的变化量除以输入的变化量,也就是“升高除以跨度”。从几何上看,它是经过点 (a, f(a)) 与 (b, f(b)) 的割线斜率。若 f 整体下降,它为负;若 f 的终点与起点相同,它为零;它可以在任意区间上计算,即使 f 在区间内部先升后降也不例外。

示例

一个函数。 对于 f(x) = x² 在 [1, 3] 上:f(1) = 1,f(3) = 9,因此变化率为 (9 − 1)/(3 − 1) = 4,割线方程为 y = 4x − 3。x = 1 处的瞬时变化率为 f′(1) = 2;在 [1, 1 + h] 上的平均变化率在 h = 1 时为 3,在 h = 0.1 时为 2.1,在 h = 0.01 时为 2.01:随着 h 缩小,它们逐渐逼近 2。中值定理保证在 (1, 3) 内存在一点 c 使 f′(c) = 4;这里 f′(x) = 2x,所以 c = 2。

一个数值表。 一个从静止落下的球,在第 0、1、2、3、4 秒后分别下落了 0、4.9、19.6、44.1 和 78.4 米。在 t = 1 到 t = 3 之间,距离从 4.9 米增加到 44.1 米,因此平均速度为 (44.1 − 4.9)/(3 − 1) = 19.6 米每秒。相邻整秒之间的变化率分别为 4.9、14.7、24.5 和 34.3 米/秒,随着球不断加速而稳步上升。

平均变化率与瞬时变化率

平均变化率描述的是一整个区间;瞬时变化率则是导数,即区间缩小到一点时平均变化率的极限。当平均变化率趋于某一数值时,该数值即为 f′(a)。若您只有数据表,就无法求这一极限,但测量点之间的间隔越小,平均变化率对瞬时变化率的估计就越准确。请勿将平均变化率与函数的平均值 (1/(b − a))∫ f(x)dx 相混淆:后者是图像的平均高度,而不是平均斜率。

常见问题

如何求平均变化率?: 用区间两端的函数值相减,再除以输入值之差:(f(b) − f(a))/(b − a)。若是数值表,读取两个 x 值对应的 y 值,然后做同样的计算。
平均变化率为负数意味着什么?: 表示在该区间内输出整体减少,割线向下倾斜。它并不能说明中间发生了什么:函数可能先上升,随后下降得更多。
它与直线的斜率有何不同?: 对于直线而言,任意区间上的平均变化率都相同,并等于斜率。对于曲线,它取决于所选的区间,因此需要瞬时变化率(即导数)这一概念。
如何加入单位?: 变化率的单位是 y 的单位除以 x 的单位。若 y 为距离(米),x 为时间(秒),则变化率的单位是米每秒。在计算器中输入这两个单位,即可得到完整的语句。
在此语境下,中值定理是什么?: 若 f 在 [a, b] 上连续并在其内部可导,则在 (a, b) 中至少存在一点 c,使该点的瞬时变化率 f′(c) 等于 [a, b] 上的平均变化率:c 处的切线与割线平行。计算器会以数值方法找出这样的点,并绘制一条切线。
能用于间距不均匀的数据吗?: 可以。您选择的任意两个 x 值之间的变化率,对您的数据而言都是精确的;相邻变化率表也能处理间距不等的情况,因为每一行都除以它自己的 Δx。