Calcolatore del tasso di variazione medio
Inserisci una funzione o una tabella di dati e due valori di x, e ottieni il tasso di variazione medio tra i due — il coefficiente angolare della retta secante — con Δy e Δx, l'equazione della retta secante, una frase in linguaggio semplice con le tue unità (metri al secondo, euro all'anno), una tabella che mostra come il tasso si avvicina al tasso istantaneo quando l'intervallo si riduce, e il punto del teorema del valor medio. Gratuito, senza registrazione.
Usa + − * / ^ e parentesi. Funzioni: sin, cos, tan, exp, ln, log (in base 10), sqrt, abs e altre. Costanti: pi ed e.
Un numero o una costante, per esempio 1, −2,5 oppure pi/2.
Risultati
4
Tasso di variazione medio
8
Variazione di y, Δy
2
Variazione di x, Δx
1
y all'inizio
9
y alla fine
Che cosa significa
Da x = 1 a x = 3, y aumenta di 8 mentre x cambia di 2: in media 4 per unità di x.
Retta secante
Il tasso di variazione medio è il coefficiente angolare della retta secante passante per (a, f(a)) e (b, f(b)).
Riduci l'intervallo
| h | Intervallo | Tasso medio |
|---|---|---|
| 1 | [1, 2] | 3 |
| 0,1 | [1, 1,1] | 2,1 |
| 0,01 | [1, 1,01] | 2,01 |
| 0,001 | [1, 1,001] | 2,001 |
| 0,0001 | [1, 1,0001] | 2,0001 |
Il tasso medio su [a, a + h] si avvicina al tasso istantaneo f′(1) = 2 quando h → 0.
Teorema del valor medio
Esiste un punto c tra a e b in cui il tasso istantaneo f′(c) è uguale a questo tasso medio: c ≈ 2.
Grafico
- y = f(x)
- Retta secante (pendenza 4)
- Tangente in c, parallela alla secante
Come usare il calcolatore del tasso di variazione medio
- 1. Scegli funzione o tabella. Per una funzione scrivi f(x), come
x^2osin(x). Per i dati incolla una coppia «x; y» per riga; i valori di x possono essere in qualsiasi ordine. - 2. Inserisci l'intervallo. Indica l'inizio a e la fine b. Per una tabella, entrambi devono essere valori di x presenti nei dati.
- 3. Aggiungi le unità, se vuoi. Scrivi l'unità di y (metri) e quella di x (secondo) per ottenere la risposta come frase con «metri al secondo».
- 4. Leggi il risultato. Ottieni il tasso, Δy e Δx, la retta secante e un grafico. Per una funzione vedi anche la tabella dei limiti e il punto del teorema del valor medio.
La formula
Il tasso di variazione medio di f su [a, b] è (f(b) − f(a)) / (b − a) — la variazione dell'output divisa per la variazione dell'input, ossia il rapporto tra salita e percorso orizzontale. Geometricamente è il coefficiente angolare della retta secante passante per i punti (a, f(a)) e (b, f(b)). È negativo quando f scende nel complesso, zero quando f termina dove era partita, e si può calcolare su qualsiasi intervallo, anche se f sale e scende nel mezzo.
Esempi svolti
Una funzione. Per f(x) = x² su [1, 3]: f(1) = 1 e f(3) = 9, quindi il tasso è (9 − 1)/(3 − 1) = 4, e la retta secante è y = 4x − 3. Il tasso istantaneo in x = 1 è f′(1) = 2, e i tassi medi su [1, 1 + h] sono 3 (h = 1), 2,1 (h = 0,1) e 2,01 (h = 0,01): si avvicinano a 2 man mano che h diminuisce. Il teorema del valor medio garantisce un punto c in (1, 3) con f′(c) = 4; qui f′(x) = 2x, quindi c = 2.
Una tabella. Una palla lasciata cadere da ferma ha percorso 0, 4,9, 19,6, 44,1 e 78,4 metri dopo 0, 1, 2, 3 e 4 secondi. Tra t = 1 e t = 3 la distanza passa da 4,9 a 44,1, quindi la velocità media è (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = 19,6 metri al secondo. I tassi tra secondi consecutivi sono 4,9, 14,7, 24,5 e 34,3 m/s, in costante aumento perché la palla accelera.
Tasso medio contro tasso istantaneo
Il tasso medio descrive un intero intervallo; il tasso istantaneo è la derivata, cioè il limite del tasso medio quando l'intervallo si riduce a un punto. Dove i tassi medi si stabilizzano verso un unico numero, quel numero è f′(a). Se hai solo una tabella di dati non puoi calcolare quel limite, ma più piccolo è il divario tra le misure, meglio il tasso medio stima quello istantaneo. Non confondere il tasso di variazione medio con il valore medio di una funzione, (1/(b − a))∫ f(x)dx, che è l'altezza media del grafico e non la sua pendenza media.
Domande frequenti
- Come si trova il tasso di variazione medio?
- Sottrai i valori della funzione agli estremi e dividi per la differenza degli input: (f(b) − f(a))/(b − a). Per una tabella, leggi i valori di y nei due valori di x e fai lo stesso.
- Che cosa significa un tasso di variazione medio negativo?
- Che l'output è diminuito nel complesso sull'intervallo: la retta secante è in discesa. Non dice nulla di ciò che accade nel mezzo, perché la funzione potrebbe essere salita prima e poi essere scesa più in basso.
- In che cosa differisce dalla pendenza di una retta?
- Per una retta il tasso di variazione medio è uguale su ogni intervallo e coincide con la pendenza. Per una curva dipende dall'intervallo scelto, ed è per questo che serve l'idea di tasso istantaneo (la derivata).
- Come inserisco le unità?
- Le unità del tasso sono le unità di y divise per le unità di x. Se y è una distanza in metri e x è un tempo in secondi, il tasso è in metri al secondo. Scrivi le due unità nel calcolatore per ottenere la frase già formulata.
- Che cosa dice il teorema del valor medio in questo contesto?
- Se f è continua su [a, b] e derivabile all'interno, allora in qualche punto c di (a, b) il tasso istantaneo f′(c) è uguale al tasso medio su [a, b]: la tangente in c è parallela alla secante. Il calcolatore trova numericamente tali punti e disegna una tangente.
- Posso usarlo con dati non equispaziati?
- Sì. Il tasso tra due valori di x qualsiasi che scegli è esatto per i tuoi dati, e la tabella dei tassi consecutivi gestisce intervalli diseguali perché ogni riga divide per il proprio Δx.