Calculadora de taxa média de variação
Informe uma função ou uma tabela de dados e dois valores de x, e obtenha a taxa média de variação entre eles — a inclinação da reta secante — com Δy e Δx, a equação da reta secante, uma frase em linguagem simples com as suas unidades (metros por segundo, dólares por ano), uma tabela mostrando como a taxa se aproxima da taxa instantânea à medida que o intervalo diminui, e o ponto do Teorema do Valor Médio. Gratuito, sem cadastro.
Use + − * / ^ e parênteses. Funções: sin, cos, tan, exp, ln, log (base 10), sqrt, abs e outras. Constantes: pi e e.
Um número ou constante, como 1, −2,5 ou pi/2.
Resultados
4
Taxa média de variação
8
Variação em y, Δy
2
Variação em x, Δx
1
y no início
9
y no fim
O que isso significa
De x = 1 até x = 3, y aumenta em 8 enquanto x varia 2: em média, 4 por unidade de x.
Reta secante
A taxa média de variação é a inclinação da reta secante que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)).
Reduzindo o intervalo
| h | Intervalo | Taxa média |
|---|---|---|
| 1 | [1, 2] | 3 |
| 0,1 | [1, 1,1] | 2,1 |
| 0,01 | [1, 1,01] | 2,01 |
| 0,001 | [1, 1,001] | 2,001 |
| 0,0001 | [1, 1,0001] | 2,0001 |
A taxa média em [a, a + h] se aproxima da taxa instantânea f′(1) = 2 quando h → 0.
Teorema do Valor Médio
Existe um ponto c entre a e b em que a taxa instantânea f′(c) é igual a essa taxa média: c ≈ 2.
Gráfico
- y = f(x)
- Reta secante (inclinação 4)
- Tangente paralela à secante em c
Como usar a Calculadora de taxa média de variação
- 1. Escolha função ou tabela. Para uma função, digite f(x), como
x^2ousin(x). Para dados, cole um par “x, y” por linha; os valores de x podem estar em qualquer ordem. - 2. Informe o intervalo. Dê o início a e o fim b. Em uma tabela, ambos devem ser valores de x que aparecem nos seus dados.
- 3. Acrescente unidades, se quiser. Digite a unidade de y (metros) e a de x (segundo) para receber a resposta como uma frase com «metros por segundo».
- 4. Leia o resultado. Você recebe a taxa, Δy e Δx, a reta secante e um gráfico. Para uma função, você também vê a tabela de limite e o ponto do Teorema do Valor Médio.
A fórmula
A taxa média de variação de f em [a, b] é (f(b) − f(a)) / (b − a) — a variação da saída dividida pela variação da entrada, ou seja, a variação vertical dividida pela variação horizontal. Geometricamente, é a inclinação da reta secante que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Ela é negativa quando f cai no conjunto, zero quando f termina onde começou, e pode ser calculada em qualquer intervalo, mesmo um em que f sobe e desce no meio.
Exemplos práticos
Uma função. Para f(x) = x² em [1, 3]: f(1) = 1 e f(3) = 9, então a taxa é (9 − 1)/(3 − 1) = 4, e a reta secante é y = 4x − 3. A taxa instantânea em x = 1 é f′(1) = 2, e as taxas médias em [1, 1 + h] são 3 (h = 1), 2,1 (h = 0,1) e 2,01 (h = 0,01): elas se aproximam de 2 à medida que h diminui. O Teorema do Valor Médio garante um ponto c em (1, 3) com f′(c) = 4; aqui f′(x) = 2x, então c = 2.
Uma tabela. Uma bola solta do repouso caiu 0; 4,9; 19,6; 44,1 e 78,4 metros após 0, 1, 2, 3 e 4 segundos. Entre t = 1 e t = 3, a distância sobe de 4,9 para 44,1, então a velocidade média é (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = 19,6 metros por segundo. As taxas entre segundos consecutivos são 4,9; 14,7; 24,5 e 34,3 m/s, subindo de forma constante porque a bola está acelerando.
Taxa média versus taxa instantânea
A taxa média descreve um intervalo inteiro; a taxa instantânea é a derivada, o limite da taxa média à medida que o intervalo se reduz a um ponto. Quando as taxas médias se estabilizam em um mesmo número, esse número é f′(a). Se você tem apenas uma tabela de dados, não é possível calcular esse limite, mas quanto menor a distância entre as medições, melhor a taxa média estima a instantânea. Não confunda a taxa média de variação com o valor médio de uma função, (1/(b − a))∫ f(x)dx, que é a altura média do gráfico, e não a sua inclinação média.
Perguntas frequentes
- Como encontrar a taxa média de variação?
- Subtraia os valores da função nas duas extremidades e divida pela diferença entre as entradas: (f(b) − f(a))/(b − a). Em uma tabela, leia os valores de y nos dois valores de x e faça o mesmo.
- O que significa uma taxa média de variação negativa?
- Que a saída diminuiu no conjunto do intervalo: a reta secante desce. Isso não diz nada sobre o que aconteceu no meio, pois a função pode ter subido primeiro e depois caído ainda mais.
- Qual é a diferença para a inclinação de uma reta?
- Para uma reta, a taxa média de variação é a mesma em qualquer intervalo e é igual à inclinação. Para uma curva, ela depende do intervalo escolhido, por isso é preciso a ideia de taxa instantânea (a derivada).
- Como incluir unidades?
- As unidades da taxa são as unidades de y divididas pelas unidades de x. Se y é distância em metros e x é tempo em segundos, a taxa está em metros por segundo. Digite as duas unidades na calculadora para receber a frase escrita por extenso.
- O que é o Teorema do Valor Médio neste contexto?
- Se f é contínua em [a, b] e derivável entre os extremos, então existe um ponto c em (a, b) em que a taxa instantânea f′(c) é igual à taxa média em [a, b]: a tangente em c é paralela à secante. A calculadora encontra esses pontos numericamente e desenha uma tangente.
- Posso usar para dados com espaçamento irregular?
- Sim. A taxa entre quaisquer dois valores de x que você escolher é exata para os seus dados, e a tabela de taxas entre pontos consecutivos lida com intervalos desiguais, pois cada linha divide pelo seu próprio Δx.