Calculadora de fatorial

Resultados

Os cálculos

• 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, então cada fatorial é o anterior multiplicado por 20.
• Cada zero final vem de um fator 10 = 2 × 5, e os cincos são mais raros que os dois. Contando-os: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
• O fatorial duplo multiplica cada segundo número: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.715.891.200.
• A fórmula de Stirling √(2πn) (n/e)ⁿ dá cerca de 2.4227868 × 10^18, que fica 0,416% abaixo do valor exato.

Como usar a calculadora de fatorial

1. 1. Digite n. Qualquer número inteiro de 0 a 10.000. O resultado é atualizado enquanto você digita.
2. 2. Leia o valor exato. Fatoriais pequenos aparecem com separação de milhares. Os maiores mostram um destaque em notação científica e todos os dígitos em uma caixa com rolagem e um botão de copiar.
3. 3. Confira os extras. Você também vê a quantidade de dígitos, os zeros finais, o fatorial duplo n!! e a aproximação de Stirling com o quanto ela fica abaixo de n!.
4. 4. Experimente um decimal. Para um valor como 4,5, a calculadora devolve Γ(5,5) = 4,5!, já que a função gama estende o fatorial a todo número, exceto os inteiros negativos.

O que é um fatorial

O fatorial de um inteiro não negativo n, escrito n!, é o produto de todos os inteiros de 1 até n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Ele conta as maneiras de dispor n coisas distintas em fila — três livros podem ser arrumados em 3! = 6 ordens — e é a base de permutações, combinações e do teorema binomial. Cada fatorial é o anterior vezes n: n! = n × (n − 1)!.

Por que 0! é igual a 1? Seguindo a regra n! = n × (n − 1)! até n = 1, obtemos 1! = 1 × 0!, o que só funciona se 0! = 1. Isso também combina com o sentido de contagem (há exatamente uma maneira de dispor nada) e com o fato de que um produto vazio vale 1 por convenção.

Zeros finais: a fórmula de Legendre

Um zero no fim de n! vem de um fator 10 = 2 × 5. Há sempre mais fatores 2 do que 5, então o número de zeros finais é igual ao número de 5s em 1 × 2 × … × n. Conte os múltiplos de 5, some os múltiplos de 25 (cada um esconde um segundo 5), depois os de 125, e assim por diante: zeros = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Para 100!, são 20 + 4 = 24 zeros finais. 100! tem 158 dígitos ao todo.

A aproximação de Stirling

Para n grande, n! é aproximado por √(2πn) (n/e)ⁿ. Ela sempre fica um pouco abaixo do valor verdadeiro, em uma proporção de cerca de 1/(12n): 0,83% em n = 10 (3,5986956 × 10⁶ contra 3.628.800) e 0,083% em n = 100 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ contra 9,3326215 × 10¹⁵⁷). Multiplicar por (1 + 1/(12n)) elimina a maior parte do erro. A aproximação permite estimar o tamanho de fatoriais enormes usando apenas logaritmos.

Fatorial duplo e a função gama

O fatorial duplo n!! multiplica cada segundo número a partir de n: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945, e 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Ele não é (n!)!. Por convenção, 0!! = 1, e n!! × (n − 1)!! = n!. A função gama Γ(x) generaliza o fatorial: Γ(n + 1) = n! para inteiros n, e ela também está definida para decimais, como (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862. Não tem valor em zero nem nos inteiros negativos, então (−1)! e (−2)! não existem.

Perguntas frequentes

Por que 0! é igual a 1?

Porque a regra do fatorial n! = n × (n − 1)! precisa valer para n = 1, o que dá 1 = 1 × 0!. Isso também combina com o sentido de contagem: há exatamente uma maneira de dispor zero objetos, e o produto vazio de nenhum número é 1.

Em quantos zeros termina 100!?

Em 24. Conte os fatores 5: ⌊100/5⌋ = 20 múltiplos de 5 mais ⌊100/25⌋ = 4 múltiplos de 25 dão 24, e há fatores 2 de sobra para formar pares com eles.

Dá para calcular o fatorial de um número negativo ou de um decimal?

Não de um inteiro negativo, onde a função gama tem polos. Decimais e negativos não inteiros funcionam por meio de Γ(n + 1): 4,5! ≈ 52,34 e (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.

O que é um fatorial duplo?

n!! é o produto dos números de n até 1 ou 2, de dois em dois. Assim, 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 e 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.840. Ele é diferente de (n!)!, que seria um número enorme.

De quantas maneiras podem ser dispostas 52 cartas de baralho?

52! = 8,0658175… × 10⁶⁷, um número de 68 dígitos. Qualquer baralho bem embaralhado é, na prática, uma ordem que ninguém jamais teve antes.

Quão precisa é a aproximação de Stirling?

O erro relativo é de cerca de 1/(12n), então ela fica 0,83% abaixo para n = 10 e 0,083% abaixo para n = 100. A calculadora mostra o erro exato para o seu n e o erro depois da correção 1/(12n).