Calculadora de progressão aritmética
Informe o primeiro termo e a diferença comum para obter qualquer termo de uma progressão aritmética e a soma dos primeiros n termos. Ou informe dois termos que você já conhece, e a calculadora trabalha ao contrário até a₁ e d. Frações e decimais continuam exatos, os números de termo chegam a 10¹⁵, e cada fórmula é mostrada com os seus números. Grátis, sem cadastro.
Somada a cada vez. Negativa para uma sequência decrescente.
Um inteiro de 1 até 10¹⁵.
Resultados
79
Termo a₂₀
820
Soma S₂₀ dos primeiros 20 termos
4
Diferença comum
3
Primeiro termo
d é positivo, então a sequência cresce.
Fórmula geral
aₙ = 4n − 1
Cálculo
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
A sequência
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
Como usar a calculadora de progressão aritmética
- 1. Escolha o que você já sabe. Primeiro termo e diferença comum é o caso mais comum. Dois termos da sequência serve para perguntas como «o 3º termo é 11 e o 8º é 36». Descobrir em que posição está um valor informa qual termo é igual a um número.
- 2. Preencha os campos. Números inteiros, decimais e frações como 3/4 funcionam, e a diferença comum pode ser negativa. As posições são contadas a partir de 1.
- 3. Leia os cartões. Você recebe o termo aₙ, a soma Sₙ dos primeiros n termos, a diferença comum e o primeiro termo.
- 4. Acompanhe o cálculo. Cada fórmula é escrita com os seus valores substituídos, seguida pelos primeiros termos da sequência.
As fórmulas
Uma progressão aritmética soma sempre a mesma quantidade, a diferença comum d, para passar de cada termo ao seguinte: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …. Portanto, o n-ésimo termo é
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
A fórmula da soma diz que o total de uma série aritmética é o número de termos vezes a média entre o primeiro e o último termo. Conta-se que o jovem Carl Friedrich Gauss usou exatamente isso para somar 1 + 2 + … + 100: há 100 termos com média (1 + 100) ÷ 2 = 50,5, então a soma é 5050. Emparelhando os termos das duas pontas — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — obtêm-se 50 pares que somam 101 cada um.
Exemplos práticos
- Termo e soma. Para 3, 7, 11, … temos a₁ = 3 e d = 4. O 20º termo é a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79, e a soma dos primeiros 20 termos é S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820. Como fórmula, aₙ = 4n − 1.
- A partir de dois termos. Se a₃ = 11 e a₈ = 36, os cinco passos do termo 3 ao termo 8 somam 25, então d = 25 ÷ 5 = 5. Depois, a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. A sequência é 1, 6, 11, 16, …, com a₂₀ = 96 e S₂₀ = 970.
- Onde está um valor? Em 3, 7, 11, … qual termo é 79? O número de passos de 3 até 79 é (79 − 3) ÷ 4 = 19, então ele é o termo 19 + 1 = 20. O valor 80 não é um termo, porque 77 ÷ 4 não é um número inteiro.
| Você conhece | Use |
|---|---|
| a₁, d e n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ e d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| Dois termos aₚ e a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), depois a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ e n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| Três termos consecutivos a, b, c | b = (a + c) ÷ 2 — cada termo é a média de seus vizinhos |
Perguntas frequentes
- Qual é a fórmula do n-ésimo termo de uma progressão aritmética?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d, em que a₁ é o primeiro termo, d é a diferença comum e n é a posição. Para 5, 8, 11, … ela dá aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2, então o 50º termo é 152.
- Como se calcula a soma de uma série aritmética?
- Multiplique o número de termos pela média entre o primeiro e o último: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Se você não conhece o último termo, use Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2. As duas fórmulas dão 820 para os primeiros 20 termos de 3, 7, 11, ….
- Como encontrar a diferença comum?
- Subtraia um termo do termo que vem depois dele. Se você conhece apenas dois termos que não são vizinhos, divida a diferença entre eles pelo número de passos que os separam: com a₃ = 11 e a₈ = 36, d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.
- Como encontrar o número de termos?
- Use n = (último termo − primeiro termo) ÷ d + 1. Para 7, 12, 17, …, 102, isso dá (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20. Se o resultado não for um número inteiro, o último termo informado não pertence de fato à sequência.
- A diferença comum pode ser zero, negativa ou fracionária?
- Sim, nos três casos. Com d = 0, todos os termos são iguais; com d negativo, a sequência diminui, como em 20, 17, 14, …; com uma fração, como d = 1/2, você obtém 2; 2,5; 3; …. A calculadora trata todos esses casos com exatidão.
- Qual é a diferença entre uma sequência aritmética e uma série aritmética?
- A sequência é a lista dos termos (3, 7, 11, 15); a série é a soma deles (3 + 7 + 11 + 15 = 36). Esta ferramenta dá as duas coisas: o n-ésimo termo e a soma parcial Sₙ.
- Sequência aritmética e progressão aritmética são a mesma coisa?
- Sim. Progressão aritmética, muitas vezes abreviada como PA, é outro nome para sequência aritmética. «Média aritmética» é a mesma ideia vista ao contrário: o termo do meio de três termos consecutivos é a média dos outros dois.