अंकगणितीय अनुक्रम कैलकुलेटर
पहला पद और सार्व अंतर लिखें, और किसी भी अंकगणितीय अनुक्रम का कोई भी पद तथा पहले n पदों का योग पाएँ। या दो ऐसे पद दें जो आप पहले से जानते हैं, और कैलकुलेटर पीछे की ओर चलकर a₁ और d निकाल देगा। भिन्न और दशमलव सटीक रहते हैं, पद संख्या 10¹⁵ तक जाती है, और हर सूत्र आपकी संख्याओं के साथ दिखाया जाता है। निःशुल्क, साइन-अप की ज़रूरत नहीं।
हर बार यह जोड़ा जाता है। घटते अनुक्रम के लिए ऋणात्मक।
1 से 10¹⁵ तक की एक पूर्ण संख्या।
परिणाम
79
पद a₂₀
820
पहले 20 पदों का योग S₂₀
4
सार्व अंतर
3
पहला पद
d धनात्मक है, इसलिए अनुक्रम बढ़ता है।
सामान्य सूत्र
aₙ = 4n − 1
हल
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
अनुक्रम
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
अंकगणितीय अनुक्रम कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. चुनें कि आप क्या जानते हैं। पहला पद और सार्व अंतर सबसे आम स्थिति है। अनुक्रम के दो पद उन प्रश्नों के लिए है जैसे “तीसरा पद 11 है और आठवाँ 36”। पता करें कि कोई मान कहाँ आता है बताता है कि कौन सा पद किसी संख्या के बराबर है।
- 2. फ़ील्ड भरें। पूर्ण संख्याएँ, दशमलव और 3/4 जैसे भिन्न, सभी काम करते हैं, और सार्व अंतर ऋणात्मक भी हो सकता है। पद की स्थितियाँ 1 से गिनी जाती हैं।
- 3. कार्ड पढ़ें। आपको पद aₙ, पहले n पदों का योग Sₙ, सार्व अंतर और पहला पद मिलता है।
- 4. हल का अनुसरण करें। हर सूत्र आपके मानों को रखकर लिखा जाता है, उसके बाद अनुक्रम के पहले कुछ पद दिए जाते हैं।
सूत्र
अंकगणितीय अनुक्रम हर पद से अगले पद तक एक ही राशि जोड़ता है, सार्व अंतर d: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …। इसलिए n-वाँ पद है
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
योग का सूत्र कहता है कि अंकगणितीय श्रेणी का कुल योग पदों की संख्या को पहले और अंतिम पद के औसत से गुणा करने के बराबर है। कहानी के अनुसार युवा कार्ल फ़्रेडरिक गाउस ने ठीक इसी से 1 + 2 + … + 100 जोड़ा था: 100 पद हैं जिनका औसत (1 + 100) ÷ 2 = 50.5 है, इसलिए योग 5050 है। दोनों सिरों से पदों को जोड़ों में रखें — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — तो 50 जोड़े मिलते हैं, जिनमें से हर एक का योग 101 है।
हल किए गए उदाहरण
- पद और योग। 3, 7, 11, … के लिए a₁ = 3 और d = 4 है। 20वाँ पद a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79 है, और पहले 20 पदों का योग S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820 है। सूत्र के रूप में, aₙ = 4n − 1।
- दो पदों से। यदि a₃ = 11 और a₈ = 36 हैं, तो पद 3 से पद 8 तक के पाँच चरण 25 जोड़ते हैं, इसलिए d = 25 ÷ 5 = 5। फिर a₁ = 11 − 2 × 5 = 1। अनुक्रम है 1, 6, 11, 16, …, जिसमें a₂₀ = 96 और S₂₀ = 970।
- कोई मान कहाँ आता है? 3, 7, 11, … में कौन सा पद 79 है? 3 से 79 तक के चरणों की संख्या (79 − 3) ÷ 4 = 19 है, इसलिए वह पद संख्या 19 + 1 = 20 है। मान 80 कोई पद नहीं है, क्योंकि 77 ÷ 4 एक पूर्ण संख्या नहीं है।
| आपके पास है | प्रयोग करें |
|---|---|
| a₁, d और n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ और d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| दो पद aₚ और a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), फिर a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ और n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| कोई तीन लगातार पद a, b, c | b = (a + c) ÷ 2 — हर पद अपने पड़ोसियों का माध्य होता है |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- अंकगणितीय अनुक्रम के n-वें पद का सूत्र क्या है?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d, जहाँ a₁ पहला पद है, d सार्व अंतर है और n स्थिति है। 5, 8, 11, … के लिए यह aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2 देता है, इसलिए 50वाँ पद 152 है।
- अंकगणितीय श्रेणी का योग कैसे निकालते हैं?
- पदों की संख्या को पहले और अंतिम पद के औसत से गुणा करें: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2। यदि अंतिम पद पता नहीं है, तो Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2 का उपयोग करें। दोनों 3, 7, 11, … के पहले 20 पदों के लिए 820 देते हैं।
- सार्व अंतर कैसे पता करें?
- किसी भी पद में से उसके बाद वाले पद को घटाएँ। यदि आपके पास दो ऐसे पद हैं जो पड़ोसी नहीं हैं, तो उनके अंतर को उनके बीच के चरणों की संख्या से भाग दें: a₃ = 11 और a₈ = 36 हों तो d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5।
- पदों की संख्या कैसे पता करें?
- n = (अंतिम पद − पहला पद) ÷ d + 1 का उपयोग करें। 7, 12, 17, …, 102 के लिए यह (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20 है। यदि परिणाम पूर्ण संख्या नहीं है, तो जो अंतिम पद आपने दिया, वह असल में अनुक्रम में नहीं है।
- क्या सार्व अंतर शून्य, ऋणात्मक या भिन्न हो सकता है?
- तीनों के लिए हाँ। d = 0 हो तो हर पद समान होता है; ऋणात्मक d हो तो अनुक्रम घटता है, जैसे 20, 17, 14, …; और भिन्न जैसे d = 1/2 हो तो 2, 2.5, 3, … मिलता है। कैलकुलेटर इन्हें सटीक रूप से संभालता है।
- अंकगणितीय अनुक्रम और अंकगणितीय श्रेणी में क्या अंतर है?
- अनुक्रम पदों की सूची है (3, 7, 11, 15); श्रेणी उनका योग है (3 + 7 + 11 + 15 = 36)। यह उपकरण आपको दोनों देता है: n-वाँ पद और आंशिक योग Sₙ।
- क्या अंकगणितीय श्रेढ़ी (progression) भी यही है?
- हाँ। अंकगणितीय श्रेढ़ी, जिसे अक्सर AP लिखा जाता है, अंकगणितीय अनुक्रम का ही दूसरा नाम है, और “अंकगणितीय माध्य” उसी विचार को उलटी दिशा से देखता है: तीन लगातार पदों का बीच वाला पद बाकी दोनों का औसत होता है।