Calculatrice de suite arithmétique
Saisissez le premier terme et la raison arithmétique pour obtenir n'importe quel terme d'une suite arithmétique, ainsi que la somme des n premiers termes. Ou donnez deux termes que vous connaissez déjà : la calculatrice remonte alors à a₁ et d. Les fractions et les décimales restent exactes, les rangs peuvent aller jusqu'à 10¹⁵, et chaque formule est affichée avec vos nombres. Gratuit, sans inscription.
Ajoutée à chaque étape. Négative pour une suite décroissante.
Un entier de 1 à 10¹⁵.
Résultats
79
Terme a₂₀
820
Somme S₂₀ des 20 premiers termes
4
Raison arithmétique
3
Premier terme
d est positif, donc la suite croît.
Formule générale
aₙ = 4n − 1
Calcul
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
La suite
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
Comment utiliser la calculatrice de suite arithmétique
- 1. Choisissez ce que vous connaissez. Premier terme et raison arithmétique est le cas habituel. Deux termes de la suite sert aux questions du type « le 3e terme vaut 11 et le 8e vaut 36 ». Trouver la place d'une valeur indique quel terme est égal à un nombre donné.
- 2. Remplissez les champs. Les entiers, les décimales et les fractions comme 3/4 sont acceptés, et la raison arithmétique peut être négative. Les rangs sont comptés à partir de 1.
- 3. Lisez les cartes. Vous obtenez le terme aₙ, la somme Sₙ des n premiers termes, la raison arithmétique et le premier terme.
- 4. Suivez le calcul. Chaque formule est écrite avec vos valeurs substituées, suivie des premiers termes de la suite.
Les formules
Une suite arithmétique ajoute toujours la même quantité, la raison arithmétique d, pour passer d'un terme au suivant : a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …. Le n-ième terme est donc
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
La formule de la somme dit que le total d'une série arithmétique est égal au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. La légende veut que le jeune Carl Friedrich Gauss ait utilisé exactement ce raisonnement pour additionner 1 + 2 + … + 100 : il y a 100 termes, de moyenne (1 + 100) ÷ 2 = 50,5, donc la somme vaut 5050. En associant les termes par les deux bouts — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — on obtient 50 paires valant chacune 101.
Exemples détaillés
- Terme et somme. Pour 3, 7, 11, … on a a₁ = 3 et d = 4. Le 20e terme est a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79, et la somme des 20 premiers termes vaut S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820. Sous forme de formule, aₙ = 4n − 1.
- À partir de deux termes. Si a₃ = 11 et a₈ = 36, les cinq pas du terme 3 au terme 8 ajoutent 25, donc d = 25 ÷ 5 = 5. Puis a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. La suite est 1, 6, 11, 16, …, avec a₂₀ = 96 et S₂₀ = 970.
- Où se situe une valeur ? Dans 3, 7, 11, … quel terme vaut 79 ? Le nombre de pas de 3 à 79 est (79 − 3) ÷ 4 = 19, donc c'est le terme 19 + 1 = 20. La valeur 80 n'est pas un terme, car 77 ÷ 4 n'est pas un entier.
| Vous connaissez | Utilisez |
|---|---|
| a₁, d et n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ et d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| Deux termes aₚ et a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), puis a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ et n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| Trois termes consécutifs a, b, c | b = (a + c) ÷ 2 : chaque terme est la moyenne de ses voisins |
Questions fréquentes
- Quelle est la formule du n-ième terme d'une suite arithmétique ?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d, où a₁ est le premier terme, d la raison arithmétique et n le rang. Pour 5, 8, 11, …, on obtient aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2, donc le 50e terme vaut 152.
- Comment calculer la somme d'une série arithmétique ?
- Multipliez le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier : Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Si vous ne connaissez pas le dernier terme, utilisez Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2. Les deux donnent 820 pour les 20 premiers termes de 3, 7, 11, ….
- Comment trouver la raison arithmétique ?
- Soustrayez un terme de celui qui le suit. Si vous ne connaissez que deux termes qui ne sont pas voisins, divisez leur différence par le nombre de pas qui les séparent : avec a₃ = 11 et a₈ = 36, d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.
- Comment trouver le nombre de termes ?
- Utilisez n = (dernier terme − premier terme) ÷ d + 1. Pour 7, 12, 17, …, 102, cela donne (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20. Si le résultat n'est pas un entier, le dernier terme donné n'appartient pas à la suite.
- La raison arithmétique peut-elle être nulle, négative ou fractionnaire ?
- Oui dans les trois cas. Avec d = 0, tous les termes sont égaux ; avec une raison négative, la suite décroît, comme dans 20, 17, 14, … ; avec une fraction comme d = 1/2, on obtient 2 ; 2,5 ; 3 ; …. La calculatrice les traite de façon exacte.
- Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une série arithmétique ?
- La suite est la liste des termes (3, 7, 11, 15) ; la série est leur somme (3 + 7 + 11 + 15 = 36). Cet outil donne les deux : le n-ième terme et la somme partielle Sₙ.
- Une progression arithmétique est-elle la même chose ?
- Oui. Progression arithmétique, souvent notée PA, est un autre nom de suite arithmétique, et la « moyenne arithmétique » est la même idée à l'envers : le terme du milieu de trois termes consécutifs est la moyenne des deux autres.