Calculateur de développement binomial
Saisissez les deux termes d'un binôme et une puissance n pour obtenir le développement complet de (a + b)ⁿ avec des coefficients exacts, un tableau de chaque terme et la formule du terme général. Demandez le 3e terme, le coefficient de x⁴ ou le terme sans x. Les termes peuvent être des nombres, une lettre comme x, ou les deux — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Gratuit, sans inscription.
Un nombre, une variable, ou les deux : 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Une seule lettre.
Un entier de 0 à 100.
De 1 à n + 1, en comptant à partir du premier terme.
Saisissez p. Utilisez 0 pour le terme sans x.
Résultats
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
Développement de (2x + 3)⁵
6
Termes après réduction
3125
Somme des coefficients
Terme général
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, pour k = 0, 1, …, 5
En donnant à chaque variable la valeur 1, le développement devient un nombre : (2 + 3)⁵ = 3125.
Terme 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Terme par terme
| k | C(n, k) | Partie a | Partie b | Terme |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
Comment utiliser le calculateur de développement binomial
- 1. Saisissez les deux termes. Écrivez a et b comme vous le feriez sur papier :
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Un terme peut utiliser une lettre, et les deux termes peuvent utiliser la même lettre ou des lettres différentes. Mettez le signe de b dans b : pour (x − 2)ⁿ, saisissez-2. - 2. Saisissez la puissance. Un entier quelconque de 0 à 100.
- 3. Cherchez éventuellement un terme. Saisissez un numéro de terme pour voir comment il est construit, ou une puissance p pour obtenir le coefficient de xᵖ — utilisez 0 pour le terme sans x.
- 4. Lisez les résultats. Le développement apparaît en haut, avec la somme de ses coefficients, la formule du terme général et un tableau qui montre le coefficient binomial de chaque terme ainsi que ses parties a et b.
Le théorème du binôme
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
En allant du premier terme au dernier, la puissance de a descend de n à 0 tandis que celle de b monte de 0 à n, et les deux puissances totalisent toujours n. Les coefficients C(n, k) sont les termes de la ligne n du triangle de Pascal : 1, 4, 6, 4, 1 pour n = 4. Le terme général, le (k + 1)ᵉ terme, est T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, et un développement de (a + b)ⁿ comporte n + 1 termes avant toute réduction des termes semblables.
Exemples détaillés
- (2x + 3)⁵. Les coefficients sont 1, 5, 10, 10, 5, 1, et chaque terme utilise (2x)⁵⁻ᵏ et 3ᵏ : 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. Le 3e terme est C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Pour vérifier, x = 1 donne (2 + 3)⁵ = 3125, qui est exactement la somme des coefficients.
- (x − 2)³. Avec b = −2, les signes alternent : x³ − 6x² + 12x − 8.
- Coefficient de x³ dans (1 + x)¹⁰. Saisissez a = 1, b = x, n = 10, et demandez p = 3. Le terme est C(10, 3)·1⁷·x³, donc le coefficient vaut 120.
- Le terme sans x dans (x² + 1/x)⁶. Saisissez a =
x^2, b =x^-1. Le terme k contient x à la puissance 2(6 − k) − k = 12 − 3k. Cette puissance vaut 0 pour k = 4, donc le terme constant est C(6, 4) = 15.
| Erreur fréquente | Démarche correcte |
|---|---|
| Écrire (2x)⁵ comme 2x⁵ | Tout le terme est élevé à la puissance : (2x)⁵ = 32x⁵ |
| Perdre le signe de b | Lisez (x − 2)ⁿ comme (x + (−2))ⁿ : les puissances impaires de b sont négatives |
| Compter les termes à partir de 1 dans la formule | Le numéro de terme r utilise k = r − 1, donc le premier terme a k = 0 |
| Développer (a + b)⁻¹ ou (a + b)^(1/2) de cette façon | Ce sont des séries infinies, non des sommes finies — voir le Calculateur de séries de Taylor |
Questions fréquentes
- Comment développer (a + b)^n ?
- Additionnez C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ pour k de 0 à n. Les coefficients C(n, k) proviennent de la ligne n du triangle de Pascal. Pour (x + 1)⁴, les coefficients 1, 4, 6, 4, 1 donnent x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- Comment trouver un terme précis d'un développement binomial ?
- Utilisez le terme général T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Le 4e terme correspond à k = 3. Pour trouver plutôt le terme contenant xᵖ, déterminez la puissance de x dans le terme k, posez-la égale à p, résolvez en k, puis calculez ce terme.
- Comment trouver le terme indépendant de x ?
- Écrivez la puissance de x dans le terme général en fonction de k, posez-la égale à 0 et résolvez en k. Si k est un entier de 0 à n, le terme constant est C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ ; sinon, il n'y a pas de terme constant. Saisissez p = 0 dans le calculateur pour le faire automatiquement.
- Combien de termes compte un développement binomial ?
- n + 1 termes pour (a + b)ⁿ, de k = 0 à k = n. Certains peuvent se regrouper ou s'annuler lorsque a et b contiennent la même variable. (x + x)ⁿ se réduit à un seul terme, 2ⁿxⁿ.
- Qu'est-ce que la somme des coefficients ?
- Donnez la valeur 1 à chaque variable : la somme des coefficients de (ax + b)ⁿ est (a + b)ⁿ. Pour (2x + 3)⁵, cela fait 5⁵ = 3125. C'est une vérification rapide de votre développement.
- La puissance peut-elle être négative ou fractionnaire ?
- Pas avec le théorème du binôme fini. (1 + x)⁻¹ et (1 + x)^(1/2) se développent en séries infinies, valables pour |x| < 1, que gère le Calculateur de séries de Taylor. Pour des puissances entières de 0 à 100, ce calculateur donne des développements finis exacts.
- Quel est le lien avec le triangle de Pascal ?
- La ligne n du triangle de Pascal donne C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), qui sont exactement les coefficients de (a + b)ⁿ lorsque a et b ont pour coefficient 1. Le Générateur de triangle de Pascal affiche autant de lignes que vous voulez.