Калькулятор разложения бинома
Введите два члена бинома и степень n — и получите полное разложение (a + b)ⁿ с точными коэффициентами, таблицей всех членов и формулой общего члена. Спросите 3-й член, коэффициент при x⁴ или член вовсе без x. Члены могут быть числами, буквой вроде x или тем и другим — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Бесплатно, без регистрации.
Число, переменная или то и другое: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Только одна буква.
Целое число от 0 до 100.
От 1 до n + 1, считая с первого члена.
Введите p. Используйте 0 для члена без x.
Результаты
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
Разложение (2x + 3)⁵
6
Члены после приведения подобных
3125
Сумма коэффициентов
Общий член
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, для k = 0, 1, …, 5
Если подставить 1 вместо каждой переменной, разложение превращается в число: (2 + 3)⁵ = 3125.
Член 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Член за членом
| k | C(n, k) | Часть a | Часть b | Член |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
Как пользоваться калькулятором разложения бинома
- 1. Введите два члена. Пишите a и b так же, как на бумаге:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Член может содержать одну букву, и два члена могут использовать одну и ту же букву или разные. Знак b вводите в самом b: для (x − 2)ⁿ введите-2. - 2. Введите степень. Любое целое число от 0 до 100.
- 3. При желании найдите один член. Введите номер члена, чтобы увидеть, как он строится, или степень p, чтобы получить коэффициент при xᵖ — используйте 0 для члена без x.
- 4. Читайте результаты. Разложение выводится вверху, с суммой коэффициентов, формулой общего члена и таблицей, где для каждого члена показаны биномиальный коэффициент и части a и b.
Бином Ньютона
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
По мере перехода от первого члена к последнему степень a падает от n до 0, а степень b растёт от 0 до n, и степени всегда в сумме дают n. Коэффициенты C(n, k) — элементы строки n треугольника Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1 для n = 4. Общий член, (k + 1)-й, равен T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, а разложение (a + b)ⁿ содержит n + 1 член до приведения подобных.
Примеры
- (2x + 3)⁵. Коэффициенты: 1, 5, 10, 10, 5, 1, и каждый член использует (2x)⁵⁻ᵏ и 3ᵏ: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. Третий член — C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Для проверки: при x = 1 получаем (2 + 3)⁵ = 3125, что в точности равно сумме коэффициентов.
- (x − 2)³. При b = −2 знаки чередуются: x³ − 6x² + 12x − 8.
- Коэффициент при x³ в (1 + x)¹⁰. Введите a = 1, b = x, n = 10 и запросите p = 3. Член равен C(10, 3)·1⁷·x³, поэтому коэффициент равен 120.
- Член без x в (x² + 1/x)⁶. Введите a =
x^2, b =x^-1. В члене k степень x равна 2(6 − k) − k = 12 − 3k. Она равна 0 при k = 4, поэтому свободный член равен C(6, 4) = 15.
| Частая ошибка | Правильный подход |
|---|---|
| Запись (2x)⁵ как 2x⁵ | Степень относится ко всему члену целиком: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| Потеря знака b | Считайте (x − 2)ⁿ как (x + (−2))ⁿ, поэтому нечётные степени b отрицательны |
| Нумерация членов с 1 в формуле | Номер члена r использует k = r − 1, поэтому у первого члена k = 0 |
| Раскрытие (a + b)⁻¹ или (a + b)^(1/2) таким способом | Это бесконечные ряды, а не конечные суммы — см. Калькулятор рядов Тейлора |
Часто задаваемые вопросы
- Как раскрыть (a + b)^n?
- Сложите C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ для k от 0 до n. Коэффициенты C(n, k) берутся из строки n треугольника Паскаля. Для (x + 1)⁴ коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1 дают x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- Как найти конкретный член разложения бинома?
- Используйте общий член T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Четвёртый член имеет k = 3. Чтобы найти член, содержащий xᵖ, запишите степень x в члене k, приравняйте её к p, решите относительно k и вычислите этот член.
- Как найти член, не зависящий от x?
- Запишите степень x в общем члене как функцию от k, приравняйте её к 0 и решите относительно k. Если k — целое число от 0 до n, свободный член равен C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ; если нет, свободного члена нет. Введите p = 0 в калькулятор, чтобы сделать это автоматически.
- Сколько членов в разложении бинома?
- n + 1 член для (a + b)ⁿ, от k = 0 до k = n. Некоторые могут объединиться или обратиться в ноль, когда a и b содержат одну и ту же переменную. (x + x)ⁿ сворачивается в один член 2ⁿxⁿ.
- Чему равна сумма коэффициентов?
- Подставьте 1 вместо каждой переменной: сумма коэффициентов (ax + b)ⁿ равна (a + b)ⁿ. Для (2x + 3)⁵ это 5⁵ = 3125. Это быстрая проверка разложения.
- Может ли степень быть отрицательной или дробной?
- Не в конечной формуле бинома. (1 + x)⁻¹ и (1 + x)^(1/2) раскрываются в бесконечные ряды, которые верны при |x| < 1 — их обрабатывает Калькулятор рядов Тейлора. Для целых степеней от 0 до 100 этот калькулятор даёт точные конечные разложения.
- Как это связано с треугольником Паскаля?
- Строка n треугольника Паскаля перечисляет C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) — это в точности коэффициенты (a + b)ⁿ, когда у a и b коэффициент 1. Генератор треугольника Паскаля выводит сколько угодно строк.