Калькулятор экспоненциального роста
Выберите дискретный рост, A = P(1 + r)^t, или непрерывный, A = Pe^(rt), рост или распад, и найдите любую из величин: конечную сумму, начальную сумму, ставку или время. Вы также получаете время удвоения или период полураспада, сравнение с правилами 72, 70 и 69,3, одну и ту же ставку в обеих записях, таблицу значений и график. Бесплатно, без регистрации.
Используется только в подписях, например годы, дни или часы.
Результаты
1 628,8946
Конечная величина (A)
1,05
Коэффициент за периоды
+62,89%
Общее изменение
5% за периоды
Как дискретная ставка
4,879% за периоды
Как непрерывная ставка
14,2067 периоды
Время удвоения
Решение
Перенесите формулу, чтобы выразить неизвестное.
A = P × (1 + r)^t
Подставьте числа.
A = 1 000 × (1 + 0,05)^10 = 1 000 × 1,628895 = 1 628,8946
Коэффициент роста за один период равен 1,05.
1 + 0,05 = 1,05
Правила 72, 70 и 69,3
Правила оценивают время удвоения или полураспада как постоянную, делённую на ставку в процентах. Каждое из них — приближение; точное время равно ln 2, делённому на ln коэффициента роста.
| Метод | Время (периоды) | Отклонение от точного |
|---|---|---|
| Точно | 14,2067 | — |
| Правило 72: 72 / ставка | 14,4 | +1,36% |
| Правило 70: 70 / ставка | 14 | -1,45% |
| Правило 69,3: 69,3 / ставка | 13,86 | -2,44% |
Таблица значений
| Время (периоды) | Величина | Изменение от начала |
|---|---|---|
| 0 | 1 000 | 0% |
| 1 | 1 050 | +5% |
| 2 | 1 102,5 | +10,25% |
| 3 | 1 157,625 | +15,76% |
| 4 | 1 215,5063 | +21,55% |
| 5 | 1 276,2816 | +27,63% |
| 6 | 1 340,0956 | +34,01% |
| 7 | 1 407,1004 | +40,71% |
| 8 | 1 477,4554 | +47,75% |
| 9 | 1 551,3282 | +55,13% |
| 10 | 1 628,8946 | +62,89% |
График
- A(t)
Как пользоваться калькулятором экспоненциального роста
- 1. Выберите модель. Используйте дискретную, если величина меняется на фиксированный процент один раз за период; непрерывную — если она растёт как e в степени «ставка × время».
- 2. Выберите рост или распад и искомую величину. Поле для неизвестного скрыто. Введите ставку как положительный процент: 5 означает 5%, а выбор «Рост» или «Распад» задаёт знак.
- 3. Заполните остальные три значения. Единица времени — только подпись, так что годы, дни или часы работают одинаково.
- 4. Прочитайте результаты. Сначала выводится найденная величина, затем коэффициент роста, время удвоения или полураспада, правила-ориентиры, таблица значений и график.
Две модели
| Модель | Формула | Что означает ставка | Время удвоения |
|---|---|---|---|
| Дискретная | A = P(1 + r)^t | r — относительное изменение за каждый период; для распада берите 1 − r | ln 2 / ln(1 + r) |
| Непрерывная | A = Pe^(rt) | r — мгновенная ставка; для распада берите −r | ln 2 / r |
P — начальная величина, A — величина через время t, r — ставка. Обе модели описывают одну и ту же кривую, если ставки связаны: дискретная ставка r равна непрерывной k = ln(1 + r), а непрерывная k равна дискретной e^k − 1. Начисление всё чаще при той же номинальной ставке в пределе даёт непрерывную модель. Калькулятор показывает вашу ставку в обеих формах.
Разобранные примеры
| Задача | Расчёт | Результат |
|---|---|---|
| 1 000 растут на 5% за период в течение 10 периодов | 1000 × 1,05¹⁰ | 1 628,8946 |
| То же, но непрерывно | 1000 × e^(0,05 × 10) | 1 648,7213 |
| 1 000 убывают на 10% за период в течение 3 периодов | 1000 × 0,9³ | 729 |
| Время, за которое 1 000 вырастут до 2 000 при 8% за период | ln 2 / ln 1,08 | 9,0065 периода |
| Ставка, при которой 1 500 вырастут до 2 400 за 8 периодов | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | 6,0511% за период |
Чтобы найти время или ставку, перенесите всё через логарифмы или корни: t = ln(A / P) / ln(1 + r) и r = (A / P)^(1/t) − 1. Калькулятор записывает преобразованную формулу и ваши числа в отдельных строках.
Время удвоения, период полураспада и правило 72
При росте время удвоения — это срок, за который величина удваивается; при распаде период полураспада — срок, за который она уменьшается вдвое. Оба зависят только от ставки, а не от начальной величины. Правило 72 оценивает время удвоения как 72, делённое на ставку в процентах. Оно удобно, потому что 72 делится без остатка на 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12, и точнее всего для дискретных ставок около 8%, примерно от 6% до 10%. Правило 70 подходит для меньших ставок, например инфляции около 2%, а 69,3 — естественный выбор для непрерывного роста, потому что ln 2 ≈ 0,693.
| Случай | Точно | Правило 72 | Правило 70 | Правило 69,3 |
|---|---|---|---|---|
| Дискретно, 8% | 9,0065 | 9 (−0,07%) | 8,75 (−2,85%) | 8,6625 (−3,82%) |
| Дискретно, 5% | 14,2067 | 14,4 (+1,36%) | 14 (−1,45%) | 13,86 (−2,44%) |
| Непрерывно, 5% | 13,8629 | 14,4 (+3,87%) | 14 (+0,99%) | 13,86 (−0,02%) |
Относитесь к правилам как к устному счёту
Правила дают быстрые оценки, а не замену формуле с логарифмом. При больших ставках они расходятся, а для распада ещё грубее, поэтому, когда важна точность, используйте точное время.
Типичные ошибки
- Ввод 0,05 вместо 5%. Поле ставки принимает проценты, поэтому введите 5. Ввод 0,05 означает 0,05%.
- Использование 1 + r для распада. Распад на 10% за период умножает на 0,9, а не на 1,1. Выберите «Распад», и калькулятор возьмёт 1 − r.
- Смешение единиц ставки и времени. Ставка 5% в год требует времени в годах; 5% в месяц — времени в месяцах.
- Считать дискретную и непрерывную ставки равными. 5% дискретно — это примерно 4,879% непрерывно, поэтому обе модели дают разные суммы при одном и том же числе.
- Ожидать, что нулевая или отрицательная начальная величина сработает. Модели нужна положительная начальная и конечная величина, потому что логарифмы определены только для положительных чисел.
Часто задаваемые вопросы
- Какая формула экспоненциального роста?
- Для роста на фиксированный процент за период это A = P(1 + r)^t, где P — начальная величина, r — ставка за период в виде десятичной дроби, t — число периодов. Для непрерывного роста это A = Pe^(rt). Распад использует отрицательную ставку, поэтому убывание на 10% за период умножает на 0,9.
- Как вычислить время удвоения?
- Для дискретного роста точное время удвоения равно ln 2 / ln(1 + r); для непрерывного — ln 2 / r. При 8% за период это 9,0065 периода. Правило 72 даёт близкую оценку: 72, делённое на ставку в процентах.
- Насколько точно правило 72?
- Точнее всего оно для ставок около 8%, хорошо работает примерно от 6% до 10%. При 5% для дискретного роста оно завышает результат на 1,4%. Для непрерывного роста правило 69,3 почти точно, а правило 70 лучше правила 72 при малых ставках.
- В чём разница между дискретным и непрерывным ростом?
- Дискретный рост применяет ставку один раз за период, поэтому 5% в год умножают на 1,05 каждый год. Непрерывный рост применяет её в каждый момент — это предел начислений всё чаще и чаще, и каждый год он умножает на e^0,05 ≈ 1,0513. Дискретная ставка r равна непрерывной ставке ln(1 + r).
- Как найти ставку роста по двум значениям?
- Выберите «Ставка» как неизвестное и введите начальную величину, конечную величину и время. Для дискретного роста r = (A / P)^(1/t) − 1; например, рост с 1 500 до 2 400 за 8 периодов — это 6,0511% за период. Отрицательный результат означает, что величина падает.
- Как вычислить период полураспада?
- Период полураспада — это время, за которое величина уменьшается вдвое: ln 2, делённое на размер непрерывной ставки распада, или ln 2 / −ln(1 − r) для дискретного распада на r за период. Выберите «Распад» и введите ставку, чтобы увидеть его.
- Можно ли использовать это для сложных процентов или роста населения?
- Да: и то и другое — экспоненциальный рост с фиксированной ставкой за период. Для вклада с регулярными взносами или при начислении несколько раз в период ближе подходит калькулятор сложных процентов. Реальное население в конце концов перестаёт расти экспоненциально, поэтому используйте результат как модель, а не как прогноз.