حاسبة النمو الأسّي
اختر النمو المتقطع A = P(1 + r)^t أو النمو المستمر A = Pe^(rt)، والنمو أو الاضمحلال، ثم احسب أيًّا من المبلغ النهائي أو المبلغ الابتدائي أو المعدل أو الزمن. وتحصل أيضًا على زمن المضاعفة أو نصف العمر، ومقارنة بقواعد 72 و70 و69.3، والمعدل مكتوبًا بطريقتين، وجدول قيم ورسم بياني. مجاني ودون تسجيل.
تُستخدم للتسميات فقط، مثل السنوات أو الأيام أو الساعات.
النتائج
1,628.8946
المبلغ النهائي (A)
1.05
عامل النمو لكل فترات
+62.89%
التغير الكلي
5% لكل فترات
كمعدل متقطع
4.879% لكل فترات
كمعدل مستمر
14.2067 فترات
زمن المضاعفة
العمل
أعد ترتيب الصيغة للمجهول.
A = P × (1 + r)^t
عوّض بالأرقام.
A = 1,000 × (1 + 0.05)^10 = 1,000 × 1.628895 = 1,628.8946
عامل النمو لفترة واحدة هو 1.05.
1 + 0.05 = 1.05
قواعد 72 و70 و69.3
تقدّر القواعد زمن المضاعفة أو نصف العمر بثابت مقسوم على المعدل بالنسبة المئوية. وكل منها تقريب؛ والزمن الدقيق هو ln 2 مقسومًا على ln عامل النمو.
| الطريقة | الزمن (فترات) | الفرق عن الدقيق |
|---|---|---|
| الدقيق | 14.2067 | — |
| قاعدة 72: 72 / المعدل | 14.4 | +1.36% |
| قاعدة 70: 70 / المعدل | 14 | -1.45% |
| قاعدة 69.3: 69.3 / المعدل | 13.86 | -2.44% |
جدول القيم
| الزمن (فترات) | المبلغ | التغير منذ البداية |
|---|---|---|
| 0 | 1,000 | 0% |
| 1 | 1,050 | +5% |
| 2 | 1,102.5 | +10.25% |
| 3 | 1,157.625 | +15.76% |
| 4 | 1,215.5063 | +21.55% |
| 5 | 1,276.2816 | +27.63% |
| 6 | 1,340.0956 | +34.01% |
| 7 | 1,407.1004 | +40.71% |
| 8 | 1,477.4554 | +47.75% |
| 9 | 1,551.3282 | +55.13% |
| 10 | 1,628.8946 | +62.89% |
الرسم البياني
- A(t)
كيفية استخدام حاسبة النمو الأسّي
- 1. اختر النموذج. استخدم المتقطع حين تتغير الكمية بنسبة ثابتة في كل فترة، واستخدم المستمر حين تتغير بعامل e مرفوع إلى المعدل مضروبًا في الزمن.
- 2. اختر النمو أو الاضمحلال، وما تريد حسابه. يُخفى حقل المجهول. أدخل المعدل نسبةً موجبة: 5 تعني 5%، ويحدد اختيار النمو أو الاضمحلال إشارته.
- 3. أدخل القيم الثلاث الأخرى. وحدة الزمن مجرد تسمية، فالسنوات والأيام والساعات كلها تعمل.
- 4. اقرأ النتائج. تظهر القيمة المحسوبة أولًا، يليها عامل النمو وزمن المضاعفة أو نصف العمر، ثم قواعد الإبهام وجدول القيم والرسم البياني.
النموذجان
| النموذج | الصيغة | معنى المعدل | زمن المضاعفة |
|---|---|---|---|
| متقطع | A = P(1 + r)^t | r هي التغير الكسري في كل فترة؛ استخدم 1 − r للاضمحلال | ln 2 / ln(1 + r) |
| مستمر | A = Pe^(rt) | r هي المعدل اللحظي؛ استخدم −r للاضمحلال | ln 2 / r |
P هو المبلغ الابتدائي، وA المبلغ بعد الزمن t، وr المعدل. ويصف النموذجان المنحنى نفسه عندما تكون المعدلات مرتبطة: فالمعدل المتقطع r يساوي المعدل المستمر k = ln(1 + r)، والمعدل المستمر k يساوي المعدل المتقطع e^k − 1. والتراكم بوتيرة أكبر فأكبر بالمعدل الاسمي نفسه يعطي النموذج المستمر في النهاية. وتعرض الحاسبة معدلك بالصورتين.
أمثلة محلولة
| المسألة | الحساب | النتيجة |
|---|---|---|
| 1,000 تنمو بنسبة 5% في كل فترة لمدة 10 فترات | 1000 × 1.05¹⁰ | 1,628.8946 |
| المثال نفسه، لكن بشكل مستمر | 1000 × e^(0.05 × 10) | 1,648.7213 |
| 1,000 تضمحل بنسبة 10% في كل فترة لمدة 3 فترات | 1000 × 0.9³ | 729 |
| الزمن حتى تبلغ 1,000 القيمة 2,000 بمعدل 8% في الفترة | ln 2 / ln 1.08 | 9.0065 فترة |
| المعدل حتى تبلغ 1,500 القيمة 2,400 في 8 فترات | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | 6.0511% في الفترة |
لحساب الزمن أو المعدل، أعد ترتيب الصيغة باللوغاريتمات أو الجذور: t = ln(A / P) / ln(1 + r) وr = (A / P)^(1/t) − 1. وتكتب الحاسبة الصيغة المعاد ترتيبها وأرقامك في سطرين منفصلين.
زمن المضاعفة ونصف العمر وقاعدة 72
في النمو، زمن المضاعفة هو الزمن الذي تستغرقه الكمية لتتضاعف؛ وفي الاضمحلال، نصف العمر هو الزمن الذي تستغرقه لتنقص إلى النصف. ويعتمد كلاهما على المعدل وحده، لا على المبلغ الابتدائي. وتقدّر قاعدة 72 زمن المضاعفة بقسمة 72 على المعدل بالنسبة المئوية. وهي شائعة لأن 72 يقبل القسمة بالتساوي على 2 و3 و4 و6 و8 و9 و12، وهي أدق ما تكون للمعدلات المتقطعة القريبة من 8%، أي تقريبًا بين 6% و10%. وقاعدة 70 تناسب المعدلات الأدنى، مثل التضخم قرب 2%، والرقم 69.3 هو الخيار الطبيعي للنمو المستمر لأن ln 2 ≈ 0.693.
| الحالة | الدقيق | قاعدة 72 | قاعدة 70 | قاعدة 69.3 |
|---|---|---|---|---|
| متقطع، 8% | 9.0065 | 9 (−0.07%) | 8.75 (−2.85%) | 8.6625 (−3.82%) |
| متقطع، 5% | 14.2067 | 14.4 (+1.36%) | 14 (−1.45%) | 13.86 (−2.44%) |
| مستمر، 5% | 13.8629 | 14.4 (+3.87%) | 14 (+0.99%) | 13.86 (−0.02%) |
اعتبر القواعد حسابًا ذهنيًا
القواعد تقديرات سريعة، لا بدائل لصيغة اللوغاريتم. فهي تنحرف عند المعدلات المرتفعة، وفي حالة الاضمحلال تكون أكثر خشونة، لذا استخدم الزمن الدقيق حين يكون الأمر مهمًا.
أخطاء شائعة
- كتابة 0.05 بدلًا من 5%. حقل المعدل يأخذ نسبة مئوية، فاكتب 5. وكتابة 0.05 تعني 0.05%.
- استخدام 1 + r في الاضمحلال. الاضمحلال بنسبة 10% في الفترة يضرب في 0.9 لا في 1.1. اختر الاضمحلال فتستخدم الحاسبة 1 − r.
- الخلط بين وحدات المعدل والزمن. معدل 5% في السنة يحتاج زمنًا بالسنوات، و5% في الشهر يحتاج أشهرًا.
- اعتبار المعدل المتقطع والمستمر متساويين. 5% متقطعًا تساوي نحو 4.879% مستمرًا، لذلك يعطي النموذجان مبالغ مختلفة لرقم المعدل نفسه.
- توقع أن يعمل مبلغ ابتدائي سالب أو صفري. يحتاج النموذج إلى مبلغ ابتدائي ونهائي موجبين، لأن اللوغاريتمات معرّفة للأعداد الموجبة فقط.
الأسئلة الشائعة
- ما صيغة النمو الأسّي؟
- للنمو بنسبة ثابتة في كل فترة هي A = P(1 + r)^t، حيث P المبلغ الابتدائي، وr المعدل في الفترة كعدد عشري، وt عدد الفترات. وللنمو المستمر A = Pe^(rt). ويستخدم الاضمحلال معدلًا سالبًا، فالاضمحلال بنسبة 10% في الفترة يضرب في 0.9.
- كيف أحسب زمن المضاعفة؟
- في النمو المتقطع يكون زمن المضاعفة الدقيق ln 2 / ln(1 + r)، وفي النمو المستمر ln 2 / r. وبمعدل 8% في الفترة يكون ذلك 9.0065 فترة. وتعطي قاعدة 72 تقديرًا قريبًا: 72 مقسومًا على المعدل بالنسبة المئوية.
- ما مدى دقة قاعدة 72؟
- هي أدق ما تكون عند معدلات قرب 8%، وجيدة من نحو 6% إلى 10%. وعند 5% تكون أعلى بنسبة 1.4% للنمو المتقطع. وللنمو المستمر تكون قاعدة 69.3 دقيقة تقريبًا، وقاعدة 70 أفضل من 72 عند المعدلات المنخفضة.
- ما الفرق بين النمو المتقطع والمستمر؟
- النمو المتقطع يطبّق المعدل مرة في كل فترة، فالنسبة 5% في السنة تضرب في 1.05 كل سنة. أما النمو المستمر فيطبّقه في كل لحظة، وهو نهاية التراكم بوتيرة أكبر فأكبر، فيضرب في e^0.05 ≈ 1.0513 كل سنة. والمعدل المتقطع r يساوي المعدل المستمر ln(1 + r).
- كيف أجد معدل النمو من قيمتين؟
- اختر المعدل مجهولًا، وأدخل المبلغ الابتدائي والمبلغ النهائي والزمن. في النمو المتقطع r = (A / P)^(1/t) − 1، فالنمو من 1,500 إلى 2,400 في 8 فترات يعطي 6.0511% في الفترة. والنتيجة السالبة تعني أن الكمية تتناقص.
- كيف أحسب نصف العمر؟
- نصف العمر هو الزمن لتنخفض الكمية إلى نصفها: ln 2 مقسومًا على حجم معدل الاضمحلال المستمر، أو ln 2 / −ln(1 − r) لاضمحلال متقطع بمقدار r في الفترة. اختر الاضمحلال وأدخل المعدل لترى ذلك.
- هل يمكن استخدام هذه الحاسبة للفائدة المركبة أو نمو السكان؟
- نعم، فكلاهما نمو أسّي بمعدل ثابت في الفترة. وإذا كانت هناك إيداعات منتظمة أو تراكم عدة مرات في الفترة الواحدة، فحاسبة الفائدة المركبة أقرب إلى الحالة. والسكان الحقيقيون يتوقفون في النهاية عن النمو الأسّي، فاستخدم النتيجة نموذجًا لا توقعًا.