Kalkulator wzrostu wykładniczego
Wybierz wzrost dyskretny, A = P(1 + r)^t, albo ciągły, A = Pe^(rt), wzrost lub spadek, a potem oblicz dowolną z wielkości: kwotę końcową, kwotę początkową, stopę lub czas. Dostajesz też czas podwojenia albo okres półtrwania, porównanie z regułami 72, 70 i 69,3, tę samą stopę zapisaną na dwa sposoby, tabelę wartości i wykres. Za darmo, bez rejestracji.
Służy tylko do opisu, np. lata, dni albo godziny.
Wyniki
1628,8946
Kwota końcowa (A)
1,05
Czynnik na okres
+62,89%
Całkowita zmiana
5% na okres
Jako stopa dyskretna
4,879% na okres
Jako stopa ciągła
14,2067 okres
Czas podwojenia
Obliczenia
Przekształć wzór względem szukanej wielkości.
A = P × (1 + r)^t
Podstaw liczby.
A = 1000 × (1 + 0,05)^10 = 1000 × 1,628895 = 1628,8946
Czynnik wzrostu na jeden okres to 1,05.
1 + 0,05 = 1,05
Reguły 72, 70 i 69,3
Reguły szacują czas podwojenia lub połowienia jako stałą podzieloną przez stopę w procentach. Każda z nich jest przybliżeniem; dokładny czas to ln 2 podzielone przez ln czynnika.
| Metoda | Czas (okres) | Różnica względem dokładnej wartości |
|---|---|---|
| Dokładnie | 14,2067 | — |
| Reguła 72: 72 / stopa | 14,4 | +1,36% |
| Reguła 70: 70 / stopa | 14 | -1,45% |
| Reguła 69,3: 69,3 / stopa | 13,86 | -2,44% |
Tabela wartości
| Czas (okres) | Kwota | Zmiana od początku |
|---|---|---|
| 0 | 1000 | 0% |
| 1 | 1050 | +5% |
| 2 | 1102,5 | +10,25% |
| 3 | 1157,625 | +15,76% |
| 4 | 1215,5063 | +21,55% |
| 5 | 1276,2816 | +27,63% |
| 6 | 1340,0956 | +34,01% |
| 7 | 1407,1004 | +40,71% |
| 8 | 1477,4554 | +47,75% |
| 9 | 1551,3282 | +55,13% |
| 10 | 1628,8946 | +62,89% |
Wykres
- A(t)
Jak korzystać z kalkulatora wzrostu wykładniczego
- 1. Wybierz model. Użyj dyskretnego, gdy wielkość rośnie o stały procent raz na okres; użyj ciągłego, gdy rośnie o e podniesione do iloczynu stopy i czasu.
- 2. Wybierz wzrost lub spadek i to, co chcesz obliczyć. Pole szukanej wielkości jest ukryte. Wpisz stopę jako dodatni procent: 5 oznacza 5%, a wybór Wzrost albo Spadek ustala jej znak.
- 3. Wypełnij pozostałe trzy wartości. Jednostka czasu służy tylko jako etykieta, więc lata, dni albo godziny działają tak samo.
- 4. Odczytaj wyniki. Szukana wartość jest pierwsza, po niej czynnik wzrostu, czas podwojenia lub okres półtrwania, reguły przybliżone, tabela wartości i wykres.
Dwa modele
| Model | Wzór | Stopa oznacza | Czas podwojenia |
|---|---|---|---|
| Dyskretny | A = P(1 + r)^t | r to względna zmiana w każdym okresie; dla spadku użyj 1 − r | ln 2 / ln(1 + r) |
| Ciągły | A = Pe^(rt) | r to chwilowa stopa; dla spadku użyj −r | ln 2 / r |
P to kwota początkowa, A kwota po czasie t, a r stopa. Oba modele opisują tę samą krzywą, gdy stopy są ze sobą powiązane: stopa dyskretna r odpowiada stopie ciągłej k = ln(1 + r), a k odpowiada stopie dyskretnej e^k − 1. Kapitalizowanie coraz częściej przy tej samej stopie nominalnej daje w granicy model ciągły. Kalkulator pokazuje twoją stopę w obu postaciach.
Przykłady krok po kroku
| Zadanie | Obliczenie | Wynik |
|---|---|---|
| 1000 rośnie o 5% na okres przez 10 okresów | 1000 × 1,05¹⁰ | 1628,8946 |
| To samo, ale w sposób ciągły | 1000 × e^(0,05 × 10) | 1648,7213 |
| 1000 maleje o 10% na okres przez 3 okresy | 1000 × 0,9³ | 729 |
| Czas, w którym 1000 osiągnie 2000 przy 8% na okres | ln 2 / ln 1,08 | 9,0065 okresu |
| Stopa, przy której 1500 osiągnie 2400 w 8 okresach | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | 6,0511% na okres |
Aby obliczyć czas albo stopę, przekształć wzór za pomocą logarytmów lub pierwiastków: t = ln(A / P) / ln(1 + r) oraz r = (A / P)^(1/t) − 1. Kalkulator zapisuje przekształcony wzór i twoje liczby w osobnych wierszach.
Czas podwojenia, okres półtrwania i reguła 72
Przy wzroście czas podwojenia to czas, po którym kwota się podwaja; przy spadku okres półtrwania to czas, po którym kwota maleje o połowę. Oba zależą tylko od stopy, nie od kwoty początkowej. Reguła 72 szacuje czas podwojenia jako 72 podzielone przez stopę w procentach. Jest popularna, bo 72 dzieli się bez reszty przez 2, 3, 4, 6, 8, 9 i 12, a najdokładniejsza jest dla stóp dyskretnych bliskich 8%, mniej więcej od 6% do 10%. Reguła 70 lepiej pasuje do niższych stóp, takich jak inflacja bliska 2%, a 69,3 to naturalny wybór dla wzrostu ciągłego, bo ln 2 ≈ 0,693.
| Przypadek | Dokładnie | Reguła 72 | Reguła 70 | Reguła 69,3 |
|---|---|---|---|---|
| Dyskretnie, 8% | 9,0065 | 9 (−0,07%) | 8,75 (−2,85%) | 8,6625 (−3,82%) |
| Dyskretnie, 5% | 14,2067 | 14,4 (+1,36%) | 14 (−1,45%) | 13,86 (−2,44%) |
| Ciągle, 5% | 13,8629 | 14,4 (+3,87%) | 14 (+0,99%) | 13,86 (−0,02%) |
Traktuj reguły jako szacunek w pamięci
Reguły to szybkie przybliżenia, a nie zamiennik wzoru logarytmicznego. Przy wysokich stopach się rozjeżdżają, a przy spadku są jeszcze mniej dokładne, więc gdy ma to znaczenie, użyj dokładnego czasu.
Częste błędy
- Wpisanie 0,05 dla 5%. Pole stopy przyjmuje procent, więc wpisz 5. Wpisanie 0,05 oznacza 0,05%.
- Użycie 1 + r przy spadku. Spadek o 10% na okres mnoży przez 0,9, a nie przez 1,1. Wybierz Spadek, a kalkulator użyje 1 − r.
- Mieszanie jednostek stopy i czasu. Stopa 5% rocznie wymaga czasu w latach; 5% miesięcznie wymaga miesięcy.
- Traktowanie stóp dyskretnych i ciągłych jako równych. 5% dyskretnie to około 4,879% ciągle, więc oba modele dają różne kwoty dla tej samej liczby.
- Oczekiwanie, że zerowa lub ujemna kwota początkowa zadziała. Model wymaga dodatniej kwoty początkowej i końcowej, bo logarytmy są określone tylko dla liczb dodatnich.
Najczęstsze pytania
- Jaki jest wzór na wzrost wykładniczy?
- Przy wzroście o stały procent na okres to A = P(1 + r)^t, gdzie P to kwota początkowa, r stopa na okres w postaci ułamka, a t liczba okresów. Dla wzrostu ciągłego to A = Pe^(rt). Spadek używa ujemnej stopy, więc spadek o 10% na okres mnoży przez 0,9.
- Jak obliczyć czas podwojenia?
- Dla wzrostu dyskretnego dokładny czas podwojenia to ln 2 / ln(1 + r); dla wzrostu ciągłego to ln 2 / r. Przy 8% na okres wychodzi 9,0065 okresu. Reguła 72 daje bliskie przybliżenie: 72 podzielone przez stopę w procentach.
- Jak dokładna jest reguła 72?
- Najdokładniejsza jest dla stóp około 8%, a dobra od około 6% do 10%. Przy 5% jest o 1,4% za wysoka dla wzrostu dyskretnego. Dla wzrostu ciągłego reguła 69,3 jest prawie dokładna, a reguła 70 jest lepsza od 72 przy niskich stopach.
- Czym różni się wzrost dyskretny od ciągłego?
- Wzrost dyskretny stosuje stopę raz na okres, więc 5% rocznie mnoży przez 1,05 co rok. Wzrost ciągły stosuje ją w każdej chwili, co jest granicą coraz częstszego kapitalizowania, i mnoży przez e^0,05 ≈ 1,0513 co rok. Stopa dyskretna r jest równa stopie ciągłej ln(1 + r).
- Jak znaleźć stopę wzrostu z dwóch wartości?
- Wybierz Stopę jako szukaną wielkość i wpisz kwotę początkową, kwotę końcową i czas. Dla wzrostu dyskretnego r = (A / P)^(1/t) − 1; na przykład wzrost z 1500 do 2400 w 8 okresach to 6,0511% na okres. Wynik ujemny oznacza, że kwota spada.
- Jak obliczyć okres półtrwania?
- Okres półtrwania to czas, w którym kwota spada do połowy: ln 2 podzielone przez wielkość ciągłej stopy spadku albo ln 2 / −ln(1 − r) dla dyskretnego spadku o r na okres. Wybierz Spadek i wpisz stopę, aby go zobaczyć.
- Czy mogę tego użyć do procentu składanego albo wzrostu populacji?
- Tak: oba to wzrost wykładniczy przy stałej stopie na okres. Dla oprocentowania z regularnymi wpłatami albo kapitalizacją kilka razy w okresie lepiej pasuje Kalkulator procentu składanego. Prawdziwe populacje w końcu przestają rosnąć wykładniczo, więc traktuj wynik jako model, a nie prognozę.