Calculadora de crescimento exponencial

Resultados

O cálculo

1. Reescreva a fórmula para isolar o valor desconhecido.

   A = P × (1 + r)^t

2. Substitua os números.

   A = 1.000 × (1 + 0,05)^10 = 1.000 × 1,628895 = 1.628,8946

3. O fator de crescimento de um período é 1,05.

   1 + 0,05 = 1,05

Regras do 72, do 70 e do 69,3

As regras estimam o tempo de duplicação ou de redução à metade como uma constante dividida pela taxa em porcentagem. Cada uma é uma aproximação; o tempo exato é ln 2 dividido pelo ln do fator.

Tabela de valores

Gráfico

Como usar a calculadora de crescimento exponencial

1. 1. Escolha o modelo. Use o discreto quando a grandeza cresce por uma porcentagem fixa a cada período; use o contínuo quando ela cresce por e elevado a uma taxa vezes o tempo.
2. 2. Escolha crescimento ou decaimento e o que calcular. O campo do valor desconhecido fica oculto. Digite a taxa como uma porcentagem positiva: 5 significa 5%, e a escolha Crescimento ou Decaimento define o sinal.
3. 3. Preencha os outros três valores. A unidade de tempo é apenas um rótulo, então anos, dias ou horas funcionam.
4. 4. Leia os resultados. O valor calculado vem primeiro, seguido do fator de crescimento, do tempo de duplicação ou da meia-vida, das regras práticas, de uma tabela de valores e de um gráfico.

Os dois modelos

P é o valor inicial, A o valor após o tempo t, e r a taxa. Os dois modelos descrevem a mesma curva quando as taxas estão ligadas: uma taxa discreta r equivale a uma taxa contínua k = ln(1 + r), e k equivale a uma taxa discreta e^k − 1. Capitalizar cada vez mais vezes à mesma taxa nominal leva ao modelo contínuo, no limite. A calculadora mostra a sua taxa nas duas formas.

Exemplos resolvidos

Para resolver o tempo ou a taxa, reescreva com logaritmos ou raízes: t = ln(A / P) / ln(1 + r) e r = (A / P)^(1/t) − 1. A calculadora escreve a fórmula reescrita e os seus números em linhas separadas.

Tempo de duplicação, meia-vida e a regra dos 72

No crescimento, o tempo de duplicação é o tempo que a quantidade leva para dobrar; no decaimento, a meia-vida é o tempo que ela leva para cair à metade. Os dois dependem apenas da taxa, não do valor inicial. A regra dos 72 estima o tempo de duplicação como 72 dividido pela taxa em porcentagem. Ela é popular porque 72 se divide exatamente por 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12, e é mais precisa para taxas discretas perto de 8%, aproximadamente de 6% a 10%. A regra dos 70 serve melhor para taxas menores, como a inflação em torno de 2%, e 69,3 é a escolha natural para o crescimento contínuo, porque ln 2 ≈ 0,693.

Erros comuns

• Digitar 0,05 para 5%. O campo de taxa recebe uma porcentagem, então digite 5. Digitar 0,05 significa 0,05%.
• Usar 1 + r para decaimento. Um decaimento de 10% por período multiplica por 0,9, não por 1,1. Escolha Decaimento e a calculadora usa 1 − r.
• Misturar as unidades de taxa e de tempo. Uma taxa de 5% ao ano exige o tempo em anos; 5% ao mês exige meses.
• Tratar taxas discretas e contínuas como iguais. 5% discreto equivale a cerca de 4,879% contínuo, então os dois modelos dão valores diferentes para o mesmo número.
• Esperar que um valor inicial ou final negativo ou zero funcione. O modelo exige valores inicial e final positivos, porque logaritmos só são definidos para números positivos.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula do crescimento exponencial?

Para crescimento por uma porcentagem fixa a cada período, é A = P(1 + r)^t, em que P é o valor inicial, r a taxa por período como decimal e t o número de períodos. Para crescimento contínuo, é A = Pe^(rt). O decaimento usa uma taxa negativa, então uma queda de 10% por período multiplica por 0,9.

Como calculo o tempo de duplicação?

No crescimento discreto, o tempo exato de duplicação é ln 2 / ln(1 + r); no contínuo, é ln 2 / r. A 8% por período, isso dá 9,0065 períodos. A regra dos 72 dá uma estimativa próxima: 72 dividido pela taxa em porcentagem.

Quão precisa é a regra dos 72?

Ela é mais precisa para taxas em torno de 8% e boa de cerca de 6% a 10%. A 5%, fica 1,4% acima no crescimento discreto. Para o crescimento contínuo, a regra dos 69,3 é quase exata, e a regra dos 70 é melhor que a dos 72 em taxas baixas.

Qual é a diferença entre crescimento discreto e contínuo?

O crescimento discreto aplica a taxa uma vez por período, então 5% ao ano multiplica por 1,05 a cada ano. O crescimento contínuo aplica a taxa a cada instante, que é o limite de capitalizar cada vez mais vezes, e multiplica por e^0,05 ≈ 1,0513 a cada ano. Uma taxa discreta r equivale a uma taxa contínua ln(1 + r).

Como encontro a taxa de crescimento a partir de dois valores?

Escolha Taxa como o desconhecido e digite o valor inicial, o valor final e o tempo. Para o crescimento discreto, r = (A / P)^(1/t) − 1; por exemplo, crescer de 1.500 para 2.400 em 8 períodos dá 6,0511% por período. Um resultado negativo significa que a quantidade está caindo.

Como calculo a meia-vida?

A meia-vida é o tempo para a quantidade cair à metade: ln 2 dividido pelo tamanho da taxa contínua de decaimento, ou ln 2 / −ln(1 − r) para um decaimento discreto de r por período. Escolha Decaimento e digite a taxa para ver o resultado.

Posso usar isto para juros compostos ou crescimento populacional?

Sim: ambos são crescimento exponencial com uma taxa fixa por período. Para juros com depósitos regulares, ou com capitalização várias vezes por período, a Calculadora de juros compostos é a opção mais adequada. Populações reais acabam deixando de crescer exponencialmente, então use o resultado como um modelo, não como uma previsão.