指数增长计算器
选择离散增长 A = P(1 + r)^t 或连续增长 A = Pe^(rt),选择增长或衰减,并求解终值、初值、增长率或时间中的任意一个。您还会得到倍增时间或半衰期、与 72、70 和 69.3 法则的比较、同一增长率的两种写法、一张数值表和一张图。免费,无需注册。
仅用于标注,例如年、日或小时。
结果
1,628.8946
终值 (A)
1.05
每期的因子
+62.89%
总变化
每期 5%
以离散增长率表示
每期 4.879%
以连续增长率表示
14.2067 期
倍增时间
计算过程
将公式变形,求出未知量。
A = P × (1 + r)^t
代入数值。
A = 1,000 × (1 + 0.05)^10 = 1,000 × 1.628895 = 1,628.8946
每期的增长因子为 1.05。
1 + 0.05 = 1.05
72、70 与 69.3 法则
这些法则用以百分数表示的增长率去除一个常数,以估算倍增或减半的时间。每一条都是近似值;精确的时间为 ln 2 除以增长因子的自然对数。
| 方法 | 时间(期) | 与精确值的差异 |
|---|---|---|
| 精确值 | 14.2067 | — |
| 72 法则:72 / 增长率 | 14.4 | +1.36% |
| 70 法则:70 / 增长率 | 14 | -1.45% |
| 69.3 法则:69.3 / 增长率 | 13.86 | -2.44% |
数值表
| 时间(期) | 数量 | 相对起点的变化 |
|---|---|---|
| 0 | 1,000 | 0% |
| 1 | 1,050 | +5% |
| 2 | 1,102.5 | +10.25% |
| 3 | 1,157.625 | +15.76% |
| 4 | 1,215.5063 | +21.55% |
| 5 | 1,276.2816 | +27.63% |
| 6 | 1,340.0956 | +34.01% |
| 7 | 1,407.1004 | +40.71% |
| 8 | 1,477.4554 | +47.75% |
| 9 | 1,551.3282 | +55.13% |
| 10 | 1,628.8946 | +62.89% |
图像
- A(t)
如何使用指数增长计算器
- 1. 选择模型。 当数量每期按固定百分比增长时使用离散模型;当数量按 e 的 rt 次方增长时使用连续模型。
- 2. 选择增长或衰减,以及要求解的量。 待求解的输入框会被隐藏。以正百分数输入增长率:5 表示 5%,增长或衰减的选择决定它的正负。
- 3. 填写其余三个值。 时间单位只作标注,因此年、日或小时都可以。
- 4. 读取结果。 求出的值排在最前,其后是增长因子、倍增时间或半衰期、经验法则、数值表和图像。
两种模型
| 模型 | 公式 | 增长率的含义 | 倍增时间 |
|---|---|---|---|
| 离散 | A = P(1 + r)^t | r 为每期的相对变化;衰减时使用 1 − r | ln 2 / ln(1 + r) |
| 连续 | A = Pe^(rt) | r 为瞬时增长率;衰减时使用 −r | ln 2 / r |
P 为初值,A 为时间 t 之后的数量,r 为增长率。两种模型在增长率相互对应时描述同一条曲线:离散增长率 r 等于连续增长率 k = ln(1 + r),而连续增长率 k 等于离散增长率 e^k − 1。在名义利率相同时,复利计息越来越频繁,其极限即为连续模型。计算器会同时显示您的增长率的两种写法。
示例
| 问题 | 计算 | 结果 |
|---|---|---|
| 1,000 每期增长 5%,持续 10 期 | 1000 × 1.05¹⁰ | 1,628.8946 |
| 同上,但为连续增长 | 1000 × e^(0.05 × 10) | 1,648.7213 |
| 1,000 每期衰减 10%,持续 3 期 | 1000 × 0.9³ | 729 |
| 以每期 8% 增长,使 1,000 增长到 2,000 所需的时间 | ln 2 / ln 1.08 | 9.0065 期 |
| 8 期内使 1,500 增长到 2,400 的增长率 | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | 每期 6.0511% |
若要求解时间或增长率,需用对数或开方进行变形:t = ln(A / P) / ln(1 + r),r = (A / P)^(1/t) − 1。计算器会把变形后的公式与您的数字分两行写出。
倍增时间、半衰期与 72 法则
增长时,倍增时间是数量翻倍所需的时间;衰减时,半衰期是数量减半所需的时间。两者只取决于增长率,而与起始数量无关。72 法则将倍增时间估计为 72 除以以百分数表示的增长率。它之所以流行,是因为 72 能被 2、3、4、6、8、9 和 12 整除,并且对约 8%(大致 6% 至 10%)的离散增长率最为准确。70 法则更适用于较低的增长率,例如约 2% 的通货膨胀;而 69.3 法则是连续增长的自然选择,因为 ln 2 ≈ 0.693。
| 情形 | 精确值 | 72 法则 | 70 法则 | 69.3 法则 |
|---|---|---|---|---|
| 离散,8% | 9.0065 | 9 (−0.07%) | 8.75 (−2.85%) | 8.6625 (−3.82%) |
| 离散,5% | 14.2067 | 14.4 (+1.36%) | 14 (−1.45%) | 13.86 (−2.44%) |
| 连续,5% | 13.8629 | 14.4 (+3.87%) | 14 (+0.99%) | 13.86 (−0.02%) |
把法则当作心算工具
这些法则只是快速估算,不能代替对数公式。在高增长率下误差会增大;衰减时则更为粗略,因此在重要场合请使用精确时间。
常见错误
- 把 0.05 输入为 5%。 增长率输入框接受百分数,因此请输入 5。输入 0.05 则表示 0.05%。
- 衰减时使用 1 + r。 每期衰减 10% 是乘以 0.9,而不是 1.1。选择衰减后,计算器使用 1 − r。
- 增长率与时间的单位不一致。 每年 5% 的增长率需要以年为单位的时间;每月 5% 则需要以月为单位。
- 把离散增长率与连续增长率当作相等。 离散 5% 约等于连续 4.879%,因此两种模型对同一个数会给出不同的数量。
- 期望初值或终值为零或负数也能计算。 模型要求初值与终值为正数,因为对数只对正数有定义。
常见问题
- 指数增长的公式是什么?
- 按固定百分比逐期增长时为 A = P(1 + r)^t,其中 P 为初值,r 为每期的增长率(小数形式),t 为期数。连续增长则为 A = Pe^(rt)。衰减使用负增长率,因此每期衰减 10% 相当于乘以 0.9。
- 如何计算倍增时间?
- 离散增长的精确倍增时间为 ln 2 / ln(1 + r);连续增长则为 ln 2 / r。每期 8% 时为 9.0065 期。72 法则给出接近的估计:72 除以以百分数表示的增长率。
- 72 法则有多准确?
- 它对约 8% 的增长率最准确,约 6% 至 10% 之间也较好。在 5% 时,它对离散增长高估了 1.4%。对于连续增长,69.3 法则几乎是精确的;在低增长率下,70 法则也比 72 法则更好。
- 离散增长与连续增长有什么区别?
- 离散增长每期只应用一次增长率,因此 5% 的年增长率每年乘以 1.05。连续增长则在每一瞬间都应用它,是复利计息越来越频繁的极限,每年乘以 e^0.05 ≈ 1.0513。离散增长率 r 等于连续增长率 ln(1 + r)。
- 如何由两个值求增长率?
- 选择增长率作为未知量,并输入初值、终值和时间。对于离散增长,r = (A / P)^(1/t) − 1;例如 8 期内从 1,500 增长到 2,400,即每期 6.0511%。负的结果表示数量在下降。
- 如何计算半衰期?
- 半衰期是数量下降到一半所需的时间:对于连续衰减率,即 ln 2 除以衰减率的大小;若为每期离散衰减 r,则为 ln 2 / −ln(1 − r)。选择衰减并输入增长率即可看到结果。
- 可以用于复利或人口增长吗?
- 可以:两者都是每期增长率固定的指数增长。若是定期存款的利息,或每期内多次复利,复利计算器更为贴切。真实的人口最终会停止指数增长,因此请把结果当作模型,而不是预测。