Calcolatore della Crescita Esponenziale

Risultati

Il procedimento

1. Riarrangia la formula per l'incognita.

   A = P × (1 + r)^t

2. Sostituisci i numeri.

   A = 1000 × (1 + 0,05)^10 = 1000 × 1,628895 = 1628,8946

3. Il fattore di crescita per un periodo è 1,05.

   1 + 0,05 = 1,05

Regola del 72, del 70 e del 69,3

Le regole stimano il tempo di raddoppio o di dimezzamento come una costante divisa per il tasso in percentuale. Ciascuna è un'approssimazione; il tempo esatto è ln 2 diviso per il logaritmo naturale del fattore.

Tabella dei valori

Grafico

Come usare il calcolatore della crescita esponenziale

1. 1. Scegli il modello. Usa il discreto quando la quantità cresce di una percentuale fissa una volta per periodo; usa il continuo quando cresce come e elevato al tasso per il tempo.
2. 2. Scegli crescita o decadimento e che cosa calcolare. Il campo dell'incognita viene nascosto. Inserisci il tasso come percentuale positiva: 5 significa 5%, e la scelta Crescita o Decadimento ne determina il segno.
3. 3. Compila gli altri tre valori. L'unità di tempo è solo un'etichetta, quindi anni, giorni od ore funzionano tutti.
4. 4. Leggi i risultati. Il valore calcolato compare per primo, seguito dal fattore di crescita, dal tempo di raddoppio o dall'emivita, dalle regole empiriche, da una tabella dei valori e da un grafico.

I due modelli

P è l'importo iniziale, A l'importo dopo il tempo t, e r il tasso. I due modelli descrivono la stessa curva quando i tassi sono collegati: un tasso discreto r equivale a un tasso continuo k = ln(1 + r), e k equivale a un tasso discreto e^k − 1. Capitalizzare sempre più spesso allo stesso tasso nominale porta al modello continuo nel limite. Il calcolatore mostra il tuo tasso in entrambe le forme.

Esempi svolti

Per risolvere il tempo o il tasso, riarrangia con logaritmi o radici: t = ln(A / P) / ln(1 + r) e r = (A / P)^(1/t) − 1. Il calcolatore scrive la formula riarrangiata e i tuoi numeri su righe separate.

Tempo di raddoppio, emivita e regola del 72

Con la crescita, il tempo di raddoppio è il tempo necessario perché l'importo raddoppi; con il decadimento, l'emivita è il tempo necessario perché si dimezzi. Entrambi dipendono solo dal tasso, non dall'importo iniziale. La regola del 72 stima il tempo di raddoppio come 72 diviso per il tasso in percentuale. È diffusa perché 72 si divide in modo esatto per 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12, ed è più accurata per tassi discreti vicini all'8%, all'incirca tra il 6% e il 10%. La regola del 70 è più adatta ai tassi più bassi, come l'inflazione intorno al 2%, e 69,3 è la scelta naturale per la crescita continua perché ln 2 ≈ 0,693.

Errori comuni

• Scrivere 0,05 per il 5%. Il campo del tasso accetta una percentuale, quindi inserisci 5. Inserendo 0,05 si intende lo 0,05%.
• Usare 1 + r per il decadimento. Un decadimento del 10% per periodo moltiplica per 0,9, non per 1,1. Scegli Decadimento e il calcolatore usa 1 − r.
• Mescolare le unità di tasso e di tempo. Un tasso del 5% annuo richiede il tempo in anni; un 5% mensile richiede i mesi.
• Trattare tassi discreti e continui come uguali. Il 5% discreto equivale a circa il 4,879% continuo, quindi i due modelli danno importi diversi per lo stesso numero.
• Aspettarsi che funzionino un importo iniziale o finale negativo o nullo. Il modello richiede importi iniziale e finale positivi, perché i logaritmi sono definiti solo per numeri positivi.

Domande frequenti

Qual è la formula della crescita esponenziale?

Per una crescita di una percentuale fissa per periodo è A = P(1 + r)^t, dove P è l'importo iniziale, r il tasso per periodo in forma decimale e t il numero di periodi. Per la crescita continua è A = Pe^(rt). Il decadimento usa un tasso negativo, quindi un decadimento del 10% per periodo moltiplica per 0,9.

Come calcolo il tempo di raddoppio?

Per la crescita discreta il tempo di raddoppio esatto è ln 2 / ln(1 + r); per la crescita continua è ln 2 / r. All'8% per periodo sono 9,0065 periodi. La regola del 72 dà una stima vicina: 72 diviso per il tasso in percentuale.

Quanto è accurata la regola del 72?

È più accurata per tassi intorno all'8%, e buona da circa il 6% al 10%. Al 5% sovrastima dell'1,4% per la crescita discreta. Per la crescita continua la regola del 69,3 è quasi esatta, e la regola del 70 è migliore del 72 ai tassi bassi.

Qual è la differenza tra crescita discreta e continua?

La crescita discreta applica il tasso una volta per periodo, quindi il 5% annuo moltiplica per 1,05 ogni anno. La crescita continua lo applica in ogni istante, che è il limite di una capitalizzazione sempre più frequente, e moltiplica per e^0,05 ≈ 1,0513 ogni anno. Un tasso discreto r equivale a un tasso continuo ln(1 + r).

Come trovo il tasso di crescita da due valori?

Scegli Tasso come incognita e inserisci importo iniziale, importo finale e tempo. Per la crescita discreta r = (A / P)^(1/t) − 1; per esempio, crescere da 1.500 a 2.400 in 8 periodi dà il 6,0511% per periodo. Un risultato negativo significa che l'importo sta calando.

Come calcolo l'emivita?

L'emivita è il tempo necessario perché l'importo scenda alla metà: ln 2 diviso per il valore assoluto del tasso di decadimento continuo, oppure ln 2 / −ln(1 − r) per un decadimento discreto di r per periodo. Scegli Decadimento e inserisci il tasso per vedere il risultato.

Posso usarlo per gli interessi composti o la crescita demografica?

Sì: entrambi sono crescita esponenziale con un tasso fisso per periodo. Per gli interessi con versamenti regolari, o con capitalizzazione più volte per periodo, il Calcolatore dell'interesse composto è la scelta più adatta. Le popolazioni reali smettono prima o poi di crescere in modo esponenziale, quindi usa il risultato come modello e non come previsione.