Calculateur de croissance exponentielle

Résultats

Le calcul

1. Isolez l'inconnue dans la formule.

   A = P × (1 + r)^t

2. Remplacez les lettres par les nombres.

   A = 1 000 × (1 + 0,05)^10 = 1 000 × 1,628895 = 1 628,8946

3. Le facteur de croissance pour une période est 1,05.

   1 + 0,05 = 1,05

Règle de 72, de 70 et de 69,3

Les règles estiment le temps de doublement ou de demi-vie en divisant une constante par le taux exprimé en pourcentage. Chacune est une approximation ; le temps exact est ln 2 divisé par le ln du facteur.

Tableau des valeurs

Graphique

Comment utiliser le calculateur de croissance exponentielle

1. 1. Choisissez le modèle. Utilisez le modèle discret lorsque la grandeur augmente d'un pourcentage fixe à chaque période ; utilisez le modèle continu lorsqu'elle croît selon e élevé à la puissance d'un taux multiplié par le temps.
2. 2. Choisissez croissance ou décroissance, puis ce que vous voulez calculer. Le champ de l'inconnue est masqué. Saisissez le taux en pourcentage positif : 5 signifie 5 %, et le choix Croissance ou Décroissance en fixe le signe.
3. 3. Renseignez les trois autres valeurs. L'unité de temps n'est qu'un libellé : années, jours ou heures conviennent.
4. 4. Lisez les résultats. La valeur calculée vient en premier, suivie du facteur de croissance, du temps de doublement ou de la demi-vie, des règles empiriques, d'un tableau de valeurs et d'un graphique.

Les deux modèles

P est le montant initial, A le montant après le temps t, et r le taux. Les deux modèles décrivent la même courbe lorsque les taux sont liés : un taux discret r équivaut à un taux continu k = ln(1 + r), et k équivaut à un taux discret e^k − 1. Capitaliser de plus en plus souvent au même taux nominal donne le modèle continu à la limite. Le calculateur affiche votre taux sous les deux formes.

Exemples résolus

Pour calculer le temps ou le taux, réarrangez la formule avec des logarithmes ou des racines : t = ln(A / P) / ln(1 + r) et r = (A / P)^(1/t) − 1. Le calculateur écrit la formule réarrangée et vos nombres sur des lignes séparées.

Temps de doublement, demi-vie et règle de 72

En croissance, le temps de doublement est le temps que met le montant à doubler ; en décroissance, la demi-vie est le temps qu'il faut pour que le montant soit divisé par deux. Les deux ne dépendent que du taux, et non du montant de départ. La règle de 72 estime le temps de doublement comme 72 divisé par le taux en pourcentage. Elle est populaire parce que 72 se divise exactement par 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 12, et elle est la plus précise pour les taux discrets voisins de 8 %, environ de 6 % à 10 %. La règle de 70 convient aux taux plus faibles, comme l'inflation autour de 2 %, et 69,3 est le choix naturel pour la croissance continue car ln 2 ≈ 0,693.

Erreurs courantes

• Saisir 0,05 pour 5 %. Le champ du taux attend un pourcentage : saisissez 5. Saisir 0,05 signifie 0,05 %.
• Utiliser 1 + r pour une décroissance. Une décroissance de 10 % par période multiplie par 0,9, et non par 1,1. Choisissez Décroissance et le calculateur utilise 1 − r.
• Mélanger les unités du taux et du temps. Un taux de 5 % par an demande un temps en années ; 5 % par mois demande des mois.
• Considérer que taux discret et taux continu sont égaux. 5 % en discret correspondent à environ 4,879 % en continu, donc les deux modèles donnent des montants différents pour le même nombre.
• Espérer qu'un montant initial ou final nul ou négatif fonctionne. Le modèle exige un montant initial et final positifs, car les logarithmes ne sont définis que pour des nombres positifs.

Questions fréquentes

Quelle est la formule de la croissance exponentielle ?

Pour une croissance d'un pourcentage fixe à chaque période, c'est A = P(1 + r)^t, où P est le montant initial, r le taux par période en décimal, et t le nombre de périodes. Pour une croissance continue, c'est A = Pe^(rt). La décroissance utilise un taux négatif, donc une décroissance de 10 % par période multiplie par 0,9.

Comment calculer le temps de doublement ?

Pour une croissance discrète, le temps de doublement exact est ln 2 / ln(1 + r) ; pour une croissance continue, il est ln 2 / r. À 8 % par période, cela donne 9,0065 périodes. La règle de 72 donne une estimation proche : 72 divisé par le taux en pourcentage.

La règle de 72 est-elle précise ?

Elle est la plus précise pour des taux voisins de 8 %, et correcte d'environ 6 % à 10 %. À 5 %, elle surestime de 1,4 % pour une croissance discrète. Pour une croissance continue, la règle de 69,3 est presque exacte, et la règle de 70 est meilleure que celle de 72 aux taux faibles.

Quelle est la différence entre croissance discrète et croissance continue ?

La croissance discrète applique le taux une fois par période, donc 5 % par an multiplie par 1,05 chaque année. La croissance continue l'applique à chaque instant, ce qui est la limite d'une capitalisation toujours plus fréquente, et multiplie par e^0,05 ≈ 1,0513 chaque année. Un taux discret r équivaut à un taux continu ln(1 + r).

Comment trouver le taux de croissance à partir de deux valeurs ?

Choisissez Taux comme inconnue et saisissez le montant initial, le montant final et la durée. En croissance discrète, r = (A / P)^(1/t) − 1 ; par exemple, passer de 1 500 à 2 400 en 8 périodes correspond à 6,0511 % par période. Un résultat négatif signifie que le montant baisse.

Comment calculer la demi-vie ?

La demi-vie est le temps mis par le montant pour tomber à la moitié : ln 2 divisé par l'amplitude du taux de décroissance continu, ou ln 2 / −ln(1 − r) pour une décroissance discrète de r par période. Choisissez Décroissance et saisissez le taux pour l'obtenir.

Peut-on l'utiliser pour les intérêts composés ou la croissance d'une population ?

Oui : les deux sont des croissances exponentielles à taux fixe par période. Pour des intérêts avec des dépôts réguliers, ou une capitalisation plusieurs fois par période, le Calculateur d'intérêts composés convient mieux. Les populations réelles finissent par cesser de croître exponentiellement : utilisez le résultat comme un modèle, et non comme une prévision.