Üstel Büyüme Hesaplayıcı
Kesikli büyüme, A = P(1 + r)^t, ya da sürekli büyüme, A = Pe^(rt), seçin; büyüme ya da azalma belirleyin ve son miktar, başlangıç miktarı, oran ya da süreden birini çözün. Ayrıca ikiye katlanma ya da yarılanma süresini, 72, 70 ve 69,3 kurallarıyla karşılaştırmayı, aynı oranın iki biçimde yazılışını, bir değer tablosunu ve bir grafiği alırsınız. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
Yalnızca etiket olarak kullanılır, ör. yıl, gün ya da saat.
Sonuçlar
1.628,8946
Son miktar (A)
1,05
Her dönem için çarpan
+62,89%
Toplam değişim
5% her dönem
Kesikli oran olarak
4,879% her dönem
Sürekli oran olarak
14,2067 dönem
İkiye katlanma süresi
Çalışma
Bilinmeyen için formülü yeniden düzenleyin.
A = P × (1 + r)^t
Sayıları yerine koyun.
A = 1.000 × (1 + 0,05)^10 = 1.000 × 1,628895 = 1.628,8946
Bir dönem için büyüme çarpanı 1,05.
1 + 0,05 = 1,05
72, 70 ve 69,3 kuralları
Kurallar, ikiye katlanma ya da yarılanma süresini, yüzde olarak oranın bölümü şeklinde bir sabitle tahmin eder. Her biri bir yaklaşıklıktır; kesin süre, ln 2'nin çarpanın logaritmasına bölümüdür.
| Yöntem | Süre (dönem) | Kesinden fark |
|---|---|---|
| Kesin | 14,2067 | — |
| 72 kuralı: 72 / oran | 14,4 | +1,36% |
| 70 kuralı: 70 / oran | 14 | -1,45% |
| 69,3 kuralı: 69,3 / oran | 13,86 | -2,44% |
Değer tablosu
| Süre (dönem) | Miktar | Başlangıçtan değişim |
|---|---|---|
| 0 | 1.000 | 0% |
| 1 | 1.050 | +5% |
| 2 | 1.102,5 | +10,25% |
| 3 | 1.157,625 | +15,76% |
| 4 | 1.215,5063 | +21,55% |
| 5 | 1.276,2816 | +27,63% |
| 6 | 1.340,0956 | +34,01% |
| 7 | 1.407,1004 | +40,71% |
| 8 | 1.477,4554 | +47,75% |
| 9 | 1.551,3282 | +55,13% |
| 10 | 1.628,8946 | +62,89% |
Grafik
- A(t)
Üstel Büyüme Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Modeli seçin. Nicelik her dönemde sabit bir yüzdeyle büyüdüğünde kesikli modeli, e'nin (oran × süre) kuvveti kadar büyüdüğünde sürekli modeli kullanın.
- 2. Büyüme ya da azalmayı ve neyi çözeceğinizi seçin. Bilinmeyen için alan gizlenir. Oranı pozitif bir yüzde olarak girin: 5 yazmak %5 demektir; işareti Büyüme ya da Azalma seçimi belirler.
- 3. Diğer üç değeri girin. Zaman birimi yalnızca bir etikettir; yıl, gün ya da saat hepsi kullanılabilir.
- 4. Sonuçları okuyun. Çözülen değer önce gelir; ardından büyüme çarpanı, ikiye katlanma ya da yarılanma süresi, pratik kurallar, bir değer tablosu ve bir grafik gelir.
İki Model
| Model | Formül | Oran ne anlama gelir | İkiye katlanma süresi |
|---|---|---|---|
| Kesikli | A = P(1 + r)^t | r her dönemdeki kesirli değişimdir; azalma için 1 − r kullanın | ln 2 / ln(1 + r) |
| Sürekli | A = Pe^(rt) | r anlık orandır; azalma için −r kullanın | ln 2 / r |
P başlangıç miktarı, A t süre sonundaki miktar ve r orandır. İki model, oranlar birbirine bağlandığında aynı eğriyi tanımlar: kesikli bir r oranı, sürekli k = ln(1 + r) oranına eşittir ve sürekli bir k oranı, kesikli e^k − 1 oranına eşittir. Aynı nominal oranla giderek daha sık bileşiklendirmek, sınırda sürekli modeli verir. Hesaplayıcı oranınızı her iki biçimde de gösterir.
Çalışılmış Örnekler
| Problem | Hesap | Sonuç |
|---|---|---|
| 1.000, dönem başına %5 büyüyerek 10 dönem | 1000 × 1,05¹⁰ | 1.628,8946 |
| Aynısı, ama sürekli olarak | 1000 × e^(0,05 × 10) | 1.648,7213 |
| 1.000, dönem başına %10 azalarak 3 dönem | 1000 × 0,9³ | 729 |
| 1.000'in dönem başına %8 ile 2.000'e ulaşması için süre | ln 2 / ln 1,08 | 9,0065 dönem |
| 1.500'ün 8 dönemde 2.400'e ulaşması için oran | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | dönem başına %6,0511 |
Süreyi ya da oranı çözmek için logaritma ya da kök alın: t = ln(A / P) / ln(1 + r) ve r = (A / P)^(1/t) − 1. Hesaplayıcı yeniden düzenlenmiş formülü ve sizin sayılarınızı ayrı satırlarda yazar.
İkiye Katlanma Süresi, Yarılanma Süresi ve 72 Kuralı
Büyümede ikiye katlanma süresi, miktarın iki katına çıkması için geçen süredir; azalmada yarılanma süresi, miktarın yarıya inmesi için geçen süredir. İkisi de yalnızca orana bağlıdır, başlangıç miktarına değil. 72 kuralı, ikiye katlanma süresini yüzde olarak oranın 72'ye bölümü şeklinde tahmin eder. Kolaylığı, 72'nin 2, 3, 4, 6, 8, 9 ve 12'ye tam bölünmesinden gelir; kesikli oranlarda en doğru sonucu %8 civarında, yaklaşık %6 ile %10 arasında verir. 70 kuralı, %2 civarındaki enflasyon gibi düşük oranlara daha uygundur; 69,3 ise ln 2 ≈ 0,693 olduğu için sürekli büyüme için doğal seçimdir.
| Durum | Kesin | 72 kuralı | 70 kuralı | 69,3 kuralı |
|---|---|---|---|---|
| Kesikli, %8 | 9,0065 | 9 (−%0,07) | 8,75 (−%2,85) | 8,6625 (−%3,82) |
| Kesikli, %5 | 14,2067 | 14,4 (+%1,36) | 14 (−%1,45) | 13,86 (−%2,44) |
| Sürekli, %5 | 13,8629 | 14,4 (+%3,87) | 14 (+%0,99) | 13,86 (−%0,02) |
Kuralları zihinden hesap olarak kullanın
Kurallar hızlı tahminlerdir, logaritma formülünün yerine geçmezler. Yüksek oranlarda sapma yapar ve azalmada daha da kabadırlar; önemli olduğunda kesin süreyi kullanın.
Sık Yapılan Hatalar
- %5 yerine 0,05 yazmak. Oran alanı yüzde alır, bu yüzden 5 girin. 0,05 girmek %0,05 demektir.
- Azalma için 1 + r kullanmak. Dönem başına %10 azalma 1,1 ile değil 0,9 ile çarpar. Azalmayı seçin; hesaplayıcı 1 − r kullanır.
- Oran ve zamanın birimlerini karıştırmak. Yıllık %5 oran için süre yıl olarak; aylık %5 oran için ay olarak girilmelidir.
- Kesikli ve sürekli oranları eşit saymak. Kesikli %5, yaklaşık %4,879 sürekli orandır; bu yüzden iki model aynı sayı için farklı tutarlar verir.
- Sıfır ya da negatif bir başlangıç miktarının çalışmasını beklemek. Model pozitif bir başlangıç ve son miktar gerektirir, çünkü logaritmalar yalnızca pozitif sayılar için tanımlıdır.
Sık sorulan sorular
- Üstel büyüme formülü nedir?
- Her dönem sabit bir yüzdeyle büyüme için A = P(1 + r)^t; burada P başlangıç miktarı, r dönem başına oran (ondalık olarak) ve t dönem sayısıdır. Sürekli büyüme için A = Pe^(rt). Azalma negatif bir oran kullanır: dönem başına %10'luk azalma 0,9 ile çarpar.
- İkiye katlanma süresini nasıl hesaplarım?
- Kesikli büyüme için kesin ikiye katlanma süresi ln 2 / ln(1 + r); sürekli büyüme için ln 2 / r'dir. Dönem başına %8 için bu 9,0065 dönemdir. 72 kuralı yakın bir tahmin verir: oranın yüzdesine bölünmüş 72.
- 72 kuralı ne kadar doğrudur?
- En doğru olduğu oranlar yaklaşık %8 civarındadır ve %6 ile %10 arasında iyidir. %5'te kesikli büyüme için %1,4 fazla tahmin eder. Sürekli büyüme için 69,3 kuralı neredeyse kesindir ve düşük oranlarda 70 kuralı 72'den daha iyidir.
- Kesikli ve sürekli büyüme arasındaki fark nedir?
- Kesikli büyüme oranı her dönemde bir kez uygulanır: yıllık %5, her yıl 1,05 ile çarpar. Sürekli büyüme ise her an uygulanır; bu, giderek daha sık bileşiklendirmenin sınırıdır ve yıllık %5 için her yıl e^0,05 ≈ 1,0513 ile çarpar. Kesikli bir r oranı, ln(1 + r) sürekli oranına eşittir.
- İki değerden büyüme oranını nasıl bulurum?
- Bilinmeyen olarak Oran'ı seçin ve başlangıç miktarını, son miktarı ve süreyi girin. Kesikli büyüme için r = (A / P)^(1/t) − 1; örneğin 1.500'den 8 dönemde 2.400'e büyümek dönem başına %6,0511'dir. Negatif bir sonuç, miktarın düştüğü anlamına gelir.
- Yarılanma süresini nasıl hesaplarım?
- Yarılanma süresi, miktarın yarıya inmesi için geçen süredir: sürekli azalma oranının büyüklüğüne bölünmüş ln 2, ya da dönem başına r'lik kesikli bir azalma için ln 2 / −ln(1 − r). Azalmayı seçip oranı girerek görebilirsiniz.
- Bunu bileşik faiz ya da nüfus artışı için kullanabilir miyim?
- Evet: ikisi de dönem başına sabit oranla üstel büyümedir. Düzenli yatırımlı ya da dönemde birden çok kez bileşiklenen faiz için Bileşik Faiz Hesaplayıcı daha uygun bir seçimdir. Gerçek nüfuslar bir süre sonra üstel büyümeyi durdurur; sonucu tahmin değil, model olarak kullanın.