Kalkulator Pertumbuhan Eksponensial
Pilih pertumbuhan diskret, A = P(1 + r)^t, atau pertumbuhan kontinu, A = Pe^(rt), pertumbuhan atau peluruhan, lalu cari salah satu dari jumlah akhir, jumlah awal, laju atau waktu. Anda juga mendapatkan waktu penggandaan atau waktu paruh, perbandingan dengan aturan 72, 70 dan 69,3, laju yang sama ditulis dengan dua cara, tabel nilai dan grafik. Gratis, tanpa perlu mendaftar.
Hanya dipakai untuk label, misalnya tahun, hari atau jam.
Hasil
1.628,8946
Jumlah akhir (A)
1,05
Faktor per periode
+62,89%
Perubahan total
5% per periode
Sebagai laju diskret
4,879% per periode
Sebagai laju kontinu
14,2067 periode
Waktu penggandaan
Perhitungannya
Susun ulang rumus untuk yang dicari.
A = P × (1 + r)^t
Masukkan angkanya.
A = 1.000 × (1 + 0,05)^10 = 1.000 × 1,628895 = 1.628,8946
Faktor pertumbuhan untuk satu periode adalah 1,05.
1 + 0,05 = 1,05
Aturan 72, 70 dan 69,3
Aturan-aturan ini memperkirakan waktu penggandaan atau paruh sebagai konstanta dibagi laju dalam persen. Masing-masing adalah perkiraan; waktu eksaknya adalah ln 2 dibagi ln dari faktornya.
| Metode | Waktu (periode) | Selisih dari eksak |
|---|---|---|
| Eksak | 14,2067 | — |
| Aturan 72: 72 / laju | 14,4 | +1,36% |
| Aturan 70: 70 / laju | 14 | -1,45% |
| Aturan 69,3: 69,3 / laju | 13,86 | -2,44% |
Tabel nilai
| Waktu (periode) | Jumlah | Perubahan dari awal |
|---|---|---|
| 0 | 1.000 | 0% |
| 1 | 1.050 | +5% |
| 2 | 1.102,5 | +10,25% |
| 3 | 1.157,625 | +15,76% |
| 4 | 1.215,5063 | +21,55% |
| 5 | 1.276,2816 | +27,63% |
| 6 | 1.340,0956 | +34,01% |
| 7 | 1.407,1004 | +40,71% |
| 8 | 1.477,4554 | +47,75% |
| 9 | 1.551,3282 | +55,13% |
| 10 | 1.628,8946 | +62,89% |
Grafik
- A(t)
Cara Menggunakan Kalkulator Pertumbuhan Eksponensial
- 1. Pilih model. Gunakan diskret ketika kuantitas tumbuh dengan persentase tetap sekali per periode; gunakan kontinu ketika tumbuh dengan e dipangkatkan laju kali waktu.
- 2. Pilih pertumbuhan atau peluruhan dan apa yang dicari. Kolom untuk yang dicari disembunyikan. Masukkan laju sebagai persentase positif: 5 berarti 5%, dan pilihan Pertumbuhan atau Peluruhan menentukan tandanya.
- 3. Isi tiga nilai lainnya. Satuan waktu hanya label, sehingga tahun, hari atau jam semuanya dapat dipakai.
- 4. Baca hasilnya. Nilai yang dicari muncul lebih dulu, diikuti faktor pertumbuhan, waktu penggandaan atau waktu paruh, aturan praktis, tabel nilai dan grafik.
Dua Model
| Model | Rumus | Arti laju | Waktu penggandaan |
|---|---|---|---|
| Diskret | A = P(1 + r)^t | r adalah perubahan pecahan pada setiap periode; gunakan 1 − r untuk peluruhan | ln 2 / ln(1 + r) |
| Kontinu | A = Pe^(rt) | r adalah laju sesaat; gunakan −r untuk peluruhan | ln 2 / r |
P adalah jumlah awal, A jumlah setelah waktu t, dan r laju. Kedua model menggambarkan kurva yang sama ketika lajunya saling terkait: laju diskret r sama dengan laju kontinu k = ln(1 + r), dan k sama dengan laju diskret e^k − 1. Pemajemukan yang makin sering pada laju nominal yang sama menghasilkan model kontinu sebagai batasnya. Kalkulator menampilkan laju Anda dalam kedua bentuk.
Contoh Kasus
| Soal | Perhitungan | Hasil |
|---|---|---|
| 1.000 tumbuh 5% per periode selama 10 periode | 1000 × 1,05¹⁰ | 1.628,8946 |
| Sama, tetapi secara kontinu | 1000 × e^(0,05 × 10) | 1.648,7213 |
| 1.000 meluruh 10% per periode selama 3 periode | 1000 × 0,9³ | 729 |
| Waktu bagi 1.000 untuk mencapai 2.000 pada 8% per periode | ln 2 / ln 1,08 | 9,0065 periode |
| Laju bagi 1.500 untuk mencapai 2.400 dalam 8 periode | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | 6,0511% per periode |
Untuk mencari waktu atau laju, susun ulang dengan logaritma atau akar: t = ln(A / P) / ln(1 + r) dan r = (A / P)^(1/t) − 1. Kalkulator menuliskan rumus yang sudah disusun ulang dan angka Anda pada baris terpisah.
Waktu Penggandaan, Waktu Paruh dan Aturan 72
Pada pertumbuhan, waktu penggandaan adalah lamanya jumlah itu menjadi dua kali lipat; pada peluruhan, waktu paruh adalah lamanya jumlah itu menjadi separuhnya. Keduanya hanya bergantung pada laju, bukan jumlah awal. Aturan 72 memperkirakan waktu penggandaan sebagai 72 dibagi laju dalam persen. Aturan ini populer karena 72 habis dibagi 2, 3, 4, 6, 8, 9 dan 12, dan paling akurat untuk laju diskret mendekati 8%, kira-kira 6% hingga 10%. Aturan 70 cocok untuk laju yang lebih rendah, seperti inflasi sekitar 2%, dan 69,3 adalah pilihan alami untuk pertumbuhan kontinu karena ln 2 ≈ 0,693.
| Kasus | Eksak | Aturan 72 | Aturan 70 | Aturan 69,3 |
|---|---|---|---|---|
| Diskret, 8% | 9,0065 | 9 (−0,07%) | 8,75 (−2,85%) | 8,6625 (−3,82%) |
| Diskret, 5% | 14,2067 | 14,4 (+1,36%) | 14 (−1,45%) | 13,86 (−2,44%) |
| Kontinu, 5% | 13,8629 | 14,4 (+3,87%) | 14 (+0,99%) | 13,86 (−0,02%) |
Gunakan aturan sebagai hitungan cepat
Aturan-aturan ini adalah perkiraan cepat, bukan pengganti rumus logaritma. Aturan ini meleset pada laju tinggi, dan untuk peluruhan lebih kasar lagi, sehingga gunakan waktu yang eksak bila hasilnya penting.
Kesalahan Umum
- Mengetik 0,05 untuk 5%. Kolom laju menerima persentase, jadi masukkan 5. Memasukkan 0,05 berarti 0,05%.
- Memakai 1 + r untuk peluruhan. Peluruhan 10% per periode dikalikan 0,9, bukan 1,1. Pilih Peluruhan dan kalkulator memakai 1 − r.
- Mencampur satuan laju dan waktu. Laju 5% per tahun memerlukan waktu dalam tahun; 5% per bulan memerlukan bulan.
- Menganggap laju diskret dan kontinu sama. 5% diskret kira-kira 4,879% kontinu, sehingga kedua model memberikan jumlah yang berbeda untuk angka yang sama.
- Berharap jumlah awal nol atau negatif dapat dipakai. Model memerlukan jumlah awal dan akhir yang positif, karena logaritma hanya terdefinisi untuk bilangan positif.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Apa rumus pertumbuhan eksponensial?
- Untuk pertumbuhan dengan persentase tetap setiap periode, rumusnya A = P(1 + r)^t, dengan P jumlah awal, r laju per periode dalam bentuk desimal, dan t jumlah periode. Untuk pertumbuhan kontinu, rumusnya A = Pe^(rt). Peluruhan memakai laju negatif, sehingga peluruhan 10% per periode dikalikan 0,9.
- Bagaimana cara menghitung waktu penggandaan?
- Untuk pertumbuhan diskret, waktu penggandaan yang tepat adalah ln 2 / ln(1 + r); untuk pertumbuhan kontinu, adalah ln 2 / r. Pada 8% per periode, itu 9,0065 periode. Aturan 72 memberi perkiraan yang dekat: 72 dibagi laju dalam persen.
- Seberapa akurat aturan 72?
- Paling akurat untuk laju sekitar 8%, dan baik dari sekitar 6% hingga 10%. Pada 5%, hasilnya 1,4% terlalu tinggi untuk pertumbuhan diskret. Untuk pertumbuhan kontinu, aturan 69,3 hampir tepat, dan aturan 70 lebih baik daripada 72 pada laju rendah.
- Apa perbedaan pertumbuhan diskret dan kontinu?
- Pertumbuhan diskret menerapkan laju sekali per periode, sehingga 5% per tahun mengalikan dengan 1,05 setiap tahun. Pertumbuhan kontinu menerapkannya pada setiap saat, yang merupakan batas dari pemajemukan yang makin sering, dan mengalikan dengan e^0,05 ≈ 1,0513 setiap tahun. Laju diskret r sama dengan laju kontinu ln(1 + r).
- Bagaimana cara mencari laju pertumbuhan dari dua nilai?
- Pilih Laju sebagai yang dicari dan masukkan jumlah awal, jumlah akhir dan waktu. Untuk pertumbuhan diskret r = (A / P)^(1/t) − 1; misalnya, tumbuh dari 1.500 menjadi 2.400 dalam 8 periode adalah 6,0511% per periode. Hasil negatif berarti jumlahnya menurun.
- Bagaimana cara menghitung waktu paruh?
- Waktu paruh adalah waktu bagi jumlah untuk turun menjadi separuh: ln 2 dibagi besar laju peluruhan kontinu, atau ln 2 / −ln(1 − r) untuk peluruhan diskret sebesar r per periode. Pilih Peluruhan dan masukkan laju untuk melihatnya.
- Bisakah saya memakai ini untuk bunga majemuk atau pertumbuhan populasi?
- Bisa: keduanya adalah pertumbuhan eksponensial dengan laju tetap per periode. Untuk bunga dengan setoran berkala, atau pemajemukan beberapa kali per periode, Kalkulator Bunga Majemuk lebih sesuai. Populasi nyata pada akhirnya berhenti tumbuh secara eksponensial, jadi gunakan hasilnya sebagai model, bukan ramalan.