घातीय वृद्धि कैलकुलेटर
असतत वृद्धि A = P(1 + r)^t या सतत वृद्धि A = Pe^(rt) चुनें, वृद्धि या क्षय चुनें, और अंतिम राशि, प्रारंभिक राशि, दर या समय में से कोई भी एक हल करें। आपको दोगुना होने का समय या अर्ध-आयु भी मिलती है, 72, 70 और 69.3 के नियमों से तुलना, एक ही दर को दोनों तरह से लिखा रूप, मानों की तालिका और एक ग्राफ़। निःशुल्क, पंजीकरण आवश्यक नहीं।
केवल लेबल के लिए उपयोग होता है, जैसे वर्ष, दिन या घंटे।
परिणाम
1,628.8946
अंतिम राशि (A)
1.05
प्रति अवधियाँ गुणक
+62.89%
कुल परिवर्तन
5% प्रति अवधियाँ
असतत दर के रूप में
4.879% प्रति अवधियाँ
सतत दर के रूप में
14.2067 अवधियाँ
दोगुना होने का समय
गणना
अज्ञात के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें।
A = P × (1 + r)^t
संख्याएँ रखें।
A = 1,000 × (1 + 0.05)^10 = 1,000 × 1.628895 = 1,628.8946
एक अवधि के लिए वृद्धि गुणक 1.05 है।
1 + 0.05 = 1.05
72, 70 और 69.3 के नियम
ये नियम दोगुना या आधा होने के समय को एक स्थिरांक को प्रतिशत दर से भाग देकर अनुमानित करते हैं। हर एक केवल अनुमान है; सटीक समय ln 2 को गुणक के ln से भाग देने पर मिलता है।
| विधि | समय (अवधियाँ) | सटीक मान से अंतर |
|---|---|---|
| सटीक | 14.2067 | — |
| 72 का नियम: 72 / दर | 14.4 | +1.36% |
| 70 का नियम: 70 / दर | 14 | -1.45% |
| 69.3 का नियम: 69.3 / दर | 13.86 | -2.44% |
मानों की तालिका
| समय (अवधियाँ) | राशि | आरंभ से परिवर्तन |
|---|---|---|
| 0 | 1,000 | 0% |
| 1 | 1,050 | +5% |
| 2 | 1,102.5 | +10.25% |
| 3 | 1,157.625 | +15.76% |
| 4 | 1,215.5063 | +21.55% |
| 5 | 1,276.2816 | +27.63% |
| 6 | 1,340.0956 | +34.01% |
| 7 | 1,407.1004 | +40.71% |
| 8 | 1,477.4554 | +47.75% |
| 9 | 1,551.3282 | +55.13% |
| 10 | 1,628.8946 | +62.89% |
ग्राफ़
- A(t)
घातीय वृद्धि कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. मॉडल चुनें। असतत चुनें जब मात्रा हर अवधि में एक तय प्रतिशत से बढ़ती है; सतत चुनें जब वह e को दर × समय की घात तक बढ़ती है।
- 2. वृद्धि या क्षय, और क्या हल करना है, चुनें। अज्ञात का फ़ील्ड छिपा दिया जाता है। दर को धनात्मक प्रतिशत के रूप में दर्ज करें: 5 का अर्थ 5% है, और वृद्धि या क्षय का चुनाव उसका चिह्न तय करता है।
- 3. बाकी तीन मान भरें। समय की इकाई केवल एक लेबल है, इसलिए वर्ष, दिन या घंटे, सब चलते हैं।
- 4. परिणाम पढ़ें। हल किया गया मान सबसे पहले आता है, उसके बाद वृद्धि गुणक, दोगुना होने का समय या अर्ध-आयु, अंगूठे के नियम, मानों की तालिका और ग्राफ़।
दो मॉडल
| मॉडल | सूत्र | दर का अर्थ | दोगुना होने का समय |
|---|---|---|---|
| असतत | A = P(1 + r)^t | r हर अवधि में भिन्नात्मक परिवर्तन है; क्षय के लिए 1 − r उपयोग करें | ln 2 / ln(1 + r) |
| सतत | A = Pe^(rt) | r तात्कालिक दर है; क्षय के लिए −r उपयोग करें | ln 2 / r |
P प्रारंभिक राशि है, A समय t के बाद की राशि, और r दर। दोनों मॉडल एक ही वक्र का वर्णन करते हैं जब उनकी दरें आपस में जुड़ी हों: असतत दर r के बराबर सतत दर k = ln(1 + r) होती है, और सतत दर k के बराबर असतत दर e^k − 1। एक ही नाममात्र दर पर अधिक-से-अधिक बार चक्रवृद्धि करने से सीमा में सतत मॉडल मिलता है। कैलकुलेटर आपकी दर दोनों रूपों में दिखाता है।
हल किए हुए उदाहरण
| समस्या | गणना | परिणाम |
|---|---|---|
| 1,000, 10 अवधियों तक हर अवधि 5% बढ़ते हुए | 1000 × 1.05¹⁰ | 1,628.8946 |
| वही, पर सतत रूप से | 1000 × e^(0.05 × 10) | 1,648.7213 |
| 1,000, 3 अवधियों तक हर अवधि 10% घटते हुए | 1000 × 0.9³ | 729 |
| 8% प्रति अवधि पर 1,000 के 2,000 तक पहुँचने का समय | ln 2 / ln 1.08 | 9.0065 अवधियाँ |
| 8 अवधियों में 1,500 को 2,400 तक पहुँचाने की दर | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | 6.0511% प्रति अवधि |
समय या दर का हल लघुगणक या मूल से निकालने के लिए: t = ln(A / P) / ln(1 + r) और r = (A / P)^(1/t) − 1। कैलकुलेटर पुनर्व्यवस्थित सूत्र और आपकी संख्याएँ अलग-अलग पंक्तियों में लिखता है।
दोगुना होने का समय, अर्ध-आयु और 72 का नियम
वृद्धि में दोगुना होने का समय वह है जितने में राशि दोगुनी होती है; क्षय में अर्ध-आयु वह है जितने में राशि आधी होती है। दोनों केवल दर पर निर्भर करते हैं, प्रारंभिक राशि पर नहीं। 72 का नियम दोगुना होने का समय अनुमानित करने के लिए 72 को प्रतिशत दर से भाग देता है। यह लोकप्रिय है क्योंकि 72 को 2, 3, 4, 6, 8, 9 और 12 से पूरा भाग जाता है, और असतत दरों के लिए यह लगभग 8% के आसपास, मोटे तौर पर 6% से 10% तक, सबसे सटीक है। 70 का नियम कम दरों के लिए बेहतर है, जैसे लगभग 2% की मुद्रास्फीति, और 69.3 सतत वृद्धि के लिए स्वाभाविक विकल्प है, क्योंकि ln 2 ≈ 0.693।
| स्थिति | सटीक | 72 का नियम | 70 का नियम | 69.3 का नियम |
|---|---|---|---|---|
| असतत, 8% | 9.0065 | 9 (−0.07%) | 8.75 (−2.85%) | 8.6625 (−3.82%) |
| असतत, 5% | 14.2067 | 14.4 (+1.36%) | 14 (−1.45%) | 13.86 (−2.44%) |
| सतत, 5% | 13.8629 | 14.4 (+3.87%) | 14 (+0.99%) | 13.86 (−0.02%) |
नियमों को मानसिक गणित समझें
ये नियम त्वरित अनुमान हैं, लघुगणक वाले सूत्र का विकल्प नहीं। ऊँची दरों पर ये दूर हटते हैं, और क्षय के लिए तो और भी मोटे होते हैं, इसलिए जहाँ मायने रखता हो वहाँ सटीक समय उपयोग करें।
सामान्य गलतियाँ
- 5% के लिए 0.05 लिखना। दर का फ़ील्ड प्रतिशत लेता है, इसलिए 5 लिखें। 0.05 लिखने का अर्थ है 0.05%।
- क्षय के लिए 1 + r उपयोग करना। प्रति अवधि 10% का क्षय 0.9 से गुणा करता है, 1.1 से नहीं। क्षय चुनें और कैलकुलेटर 1 − r उपयोग करता है।
- दर और समय की इकाइयाँ मिलाना। 5% प्रति वर्ष की दर के लिए समय वर्षों में चाहिए; 5% प्रति माह के लिए महीनों में।
- असतत और सतत दरों को बराबर मानना। 5% असतत लगभग 4.879% सतत है, इसलिए दोनों मॉडल एक ही संख्या के लिए अलग राशि देते हैं।
- शून्य या ऋणात्मक प्रारंभिक राशि की अपेक्षा करना। मॉडल को धनात्मक प्रारंभिक और अंतिम राशि चाहिए, क्योंकि लघुगणक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- घातीय वृद्धि का सूत्र क्या है?
- हर अवधि में एक तय प्रतिशत की वृद्धि के लिए यह A = P(1 + r)^t है, जहाँ P प्रारंभिक राशि, r प्रति अवधि की दर भिन्न के रूप में, और t अवधियों की संख्या है। सतत वृद्धि के लिए यह A = Pe^(rt) है। क्षय में ऋणात्मक दर लेते हैं, इसलिए 10% प्रति अवधि का क्षय 0.9 से गुणा करता है।
- दोगुना होने का समय कैसे निकालें?
- असतत वृद्धि के लिए सटीक दोगुना होने का समय ln 2 / ln(1 + r) है; सतत वृद्धि के लिए ln 2 / r। 8% प्रति अवधि पर यह 9.0065 अवधियाँ है। 72 का नियम एक निकट अनुमान देता है: 72 को प्रतिशत दर से भाग दें।
- 72 का नियम कितना सटीक है?
- यह लगभग 8% दरों के लिए सबसे सटीक है, और लगभग 6% से 10% तक ठीक है। 5% पर यह असतत वृद्धि के लिए 1.4% अधिक है। सतत वृद्धि के लिए 69.3 का नियम लगभग सटीक है, और कम दरों पर 70 का नियम 72 से बेहतर है।
- असतत और सतत वृद्धि में क्या अंतर है?
- असतत वृद्धि दर को हर अवधि में एक बार लागू करती है, इसलिए 5% प्रति वर्ष हर वर्ष 1.05 से गुणा करता है। सतत वृद्धि हर क्षण पर लागू होती है, जो बार-बार चक्रवृद्धि की सीमा है, और हर वर्ष e^0.05 ≈ 1.0513 से गुणा करती है। असतत दर r, सतत दर ln(1 + r) के बराबर है।
- दो मानों से वृद्धि दर कैसे निकालें?
- दर को अज्ञात चुनें और प्रारंभिक राशि, अंतिम राशि और समय दर्ज करें। असतत वृद्धि के लिए r = (A / P)^(1/t) − 1; उदाहरण के लिए 8 अवधियों में 1,500 से 2,400 तक की वृद्धि 6.0511% प्रति अवधि है। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि राशि गिर रही है।
- अर्ध-आयु कैसे निकालें?
- अर्ध-आयु वह समय है जिसमें राशि घटकर आधी रह जाती है: ln 2 को सतत क्षय दर के परिमाण से भाग दें, या असतत क्षय r प्रति अवधि के लिए ln 2 / −ln(1 − r)। क्षय चुनें और दर दर्ज करें, परिणाम दिख जाएगा।
- क्या इसे चक्रवृद्धि ब्याज या जनसंख्या वृद्धि के लिए उपयोग कर सकते हैं?
- हाँ: दोनों प्रति अवधि एक तय दर पर घातीय वृद्धि हैं। नियमित जमा वाले ब्याज के लिए, या प्रति अवधि कई बार चक्रवृद्धि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर अधिक उपयुक्त है। वास्तविक जनसंख्या अंततः घातीय रूप से बढ़ना बंद कर देती है, इसलिए परिणाम को पूर्वानुमान नहीं, एक मॉडल की तरह लें।