Calculadora de crecimiento exponencial
Elige el crecimiento discreto, A = P(1 + r)^t, o el continuo, A = Pe^(rt), el crecimiento o el decrecimiento, y calcula cualquiera de la cantidad final, la cantidad inicial, la tasa o el tiempo. Además obtienes el tiempo de duplicación o la vida media, una comparación con las reglas del 72, del 70 y del 69,3, la misma tasa expresada de las dos formas, una tabla de valores y una gráfica. Gratis, sin registro.
Solo se usa como etiqueta, por ejemplo años, días u horas.
Resultados
1628,8946
Cantidad final (A)
1,05
Factor por periodos
+62,89%
Cambio total
5% por periodos
Como tasa discreta
4,879% por periodos
Como tasa continua
14,2067 periodos
Tiempo de duplicación
El cálculo
Reordena la fórmula para la incógnita.
A = P × (1 + r)^t
Sustituye los números.
A = 1000 × (1 + 0,05)^10 = 1000 × 1,628895 = 1628,8946
El factor de crecimiento por periodo es 1,05.
1 + 0,05 = 1,05
Reglas del 72, del 70 y del 69,3
Las reglas estiman el tiempo de duplicación o de reducción a la mitad como una constante dividida entre la tasa en porcentaje. Cada una es una aproximación; el tiempo exacto es ln 2 dividido entre el ln del factor.
| Método | Tiempo (periodos) | Diferencia respecto al exacto |
|---|---|---|
| Exacto | 14,2067 | — |
| Regla del 72: 72 / tasa | 14,4 | +1,36% |
| Regla del 70: 70 / tasa | 14 | -1,45% |
| Regla del 69,3: 69,3 / tasa | 13,86 | -2,44% |
Tabla de valores
| Tiempo (periodos) | Cantidad | Cambio desde el inicio |
|---|---|---|
| 0 | 1000 | 0% |
| 1 | 1050 | +5% |
| 2 | 1102,5 | +10,25% |
| 3 | 1157,625 | +15,76% |
| 4 | 1215,5063 | +21,55% |
| 5 | 1276,2816 | +27,63% |
| 6 | 1340,0956 | +34,01% |
| 7 | 1407,1004 | +40,71% |
| 8 | 1477,4554 | +47,75% |
| 9 | 1551,3282 | +55,13% |
| 10 | 1628,8946 | +62,89% |
Gráfica
- A(t)
Cómo usar la calculadora de crecimiento exponencial
- 1. Elige el modelo. Usa el discreto cuando la cantidad crece un porcentaje fijo una vez por periodo; usa el continuo cuando crece como e elevado a una tasa por tiempo.
- 2. Elige crecimiento o decrecimiento y qué calcular. El campo de la incógnita se oculta. Introduce la tasa como un porcentaje positivo: 5 significa 5 %, y la opción Crecimiento o Decrecimiento fija su signo.
- 3. Rellena los otros tres valores. La unidad de tiempo es solo una etiqueta, así que años, días u horas funcionan igual.
- 4. Lee los resultados. El valor calculado aparece primero, seguido del factor de crecimiento, el tiempo de duplicación o la vida media, las reglas prácticas, una tabla de valores y una gráfica.
Los dos modelos
| Modelo | Fórmula | La tasa significa | Tiempo de duplicación |
|---|---|---|---|
| Discreto | A = P(1 + r)^t | r es el cambio fraccionario en cada periodo; usa 1 − r para el decrecimiento | ln 2 / ln(1 + r) |
| Continuo | A = Pe^(rt) | r es la tasa instantánea; usa −r para el decrecimiento | ln 2 / r |
P es la cantidad inicial, A la cantidad tras el tiempo t, y r la tasa. Los dos modelos describen la misma curva cuando las tasas están vinculadas: una tasa discreta r equivale a una tasa continua k = ln(1 + r), y k equivale a una tasa discreta e^k − 1. Capitalizar cada vez con más frecuencia a la misma tasa nominal lleva al modelo continuo en el límite. La calculadora muestra tu tasa en las dos formas.
Ejemplos resueltos
| Problema | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|
| 1000 que crecen un 5 % por periodo durante 10 periodos | 1000 × 1,05¹⁰ | 1628,8946 |
| Lo mismo, pero de forma continua | 1000 × e^(0,05 × 10) | 1648,7213 |
| 1000 que decrecen un 10 % por periodo durante 3 periodos | 1000 × 0,9³ | 729 |
| Tiempo para que 1000 lleguen a 2000 al 8 % por periodo | ln 2 / ln 1,08 | 9,0065 periodos |
| Tasa para que 1500 lleguen a 2400 en 8 periodos | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | 6,0511 % por periodo |
Para despejar el tiempo o la tasa, reordena con logaritmos o raíces: t = ln(A / P) / ln(1 + r) y r = (A / P)^(1/t) − 1. La calculadora escribe la fórmula reordenada y tus números en líneas separadas.
Tiempo de duplicación, vida media y la regla del 72
Con el crecimiento, el tiempo de duplicación es lo que tarda la cantidad en duplicarse; con el decrecimiento, la vida media es lo que tarda en reducirse a la mitad. Ambos dependen solo de la tasa, no de la cantidad inicial. La regla del 72 estima el tiempo de duplicación como 72 dividido entre la tasa en porcentaje. Es popular porque 72 se divide exactamente entre 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12, y es más exacta para tasas discretas cercanas al 8 %, aproximadamente entre el 6 % y el 10 %. La regla del 70 es más adecuada para tasas bajas, como la inflación cercana al 2 %, y 69,3 es la opción natural para el crecimiento continuo porque ln 2 ≈ 0,693.
| Caso | Exacto | Regla del 72 | Regla del 70 | Regla del 69,3 |
|---|---|---|---|---|
| Discreto, 8 % | 9,0065 | 9 (−0,07 %) | 8,75 (−2,85 %) | 8,6625 (−3,82 %) |
| Discreto, 5 % | 14,2067 | 14,4 (+1,36 %) | 14 (−1,45 %) | 13,86 (−2,44 %) |
| Continuo, 5 % | 13,8629 | 14,4 (+3,87 %) | 14 (+0,99 %) | 13,86 (−0,02 %) |
Trata las reglas como cálculo mental
Las reglas son estimaciones rápidas, no sustitutos de la fórmula con logaritmos. Se desvían con tasas altas, y en el decrecimiento son aún más groseras, así que usa el tiempo exacto cuando importe.
Errores comunes
- Escribir 0,05 para un 5 %. El campo de la tasa admite un porcentaje, así que introduce 5. Si escribes 0,05, significa 0,05 %.
- Usar 1 + r para el decrecimiento. Un decrecimiento del 10 % por periodo multiplica por 0,9, no por 1,1. Elige Decrecimiento y la calculadora usa 1 − r.
- Mezclar las unidades de la tasa y del tiempo. Una tasa del 5 % anual necesita el tiempo en años; un 5 % mensual necesita meses.
- Tratar las tasas discretas y continuas como iguales. Un 5 % discreto equivale a aproximadamente un 4,879 % continuo, así que los dos modelos dan cantidades distintas para el mismo número.
- Esperar que funcione una cantidad inicial o final cero o negativa. El modelo necesita cantidades inicial y final positivas, porque los logaritmos solo están definidos para números positivos.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la fórmula del crecimiento exponencial?
- Para un crecimiento de un porcentaje fijo por periodo es A = P(1 + r)^t, donde P es la cantidad inicial, r la tasa por periodo como decimal y t el número de periodos. Para el crecimiento continuo es A = Pe^(rt). El decrecimiento usa una tasa negativa, así que un decrecimiento del 10 % por periodo multiplica por 0,9.
- ¿Cómo calculo el tiempo de duplicación?
- Para el crecimiento discreto, el tiempo exacto de duplicación es ln 2 / ln(1 + r); para el crecimiento continuo, es ln 2 / r. Con un 8 % por periodo, eso son 9,0065 periodos. La regla del 72 da una estimación cercana: 72 dividido entre la tasa en porcentaje.
- ¿Qué tan exacta es la regla del 72?
- Es más exacta para tasas cercanas al 8 %, y buena entre aproximadamente el 6 % y el 10 %. Con un 5 % sobrestima en un 1,4 % para el crecimiento discreto. Para el crecimiento continuo, la regla del 69,3 es casi exacta, y la del 70 es mejor que la del 72 con tasas bajas.
- ¿Cuál es la diferencia entre el crecimiento discreto y el continuo?
- El crecimiento discreto aplica la tasa una vez por periodo, así que un 5 % anual multiplica por 1,05 cada año. El crecimiento continuo la aplica en cada instante, que es el límite de capitalizar cada vez con más frecuencia, y multiplica por e^0,05 ≈ 1,0513 cada año. Una tasa discreta r equivale a una tasa continua ln(1 + r).
- ¿Cómo encuentro la tasa de crecimiento a partir de dos valores?
- Elige Tasa como incógnita e introduce la cantidad inicial, la cantidad final y el tiempo. Para el crecimiento discreto, r = (A / P)^(1/t) − 1; por ejemplo, pasar de 1500 a 2400 en 8 periodos es un 6,0511 % por periodo. Un resultado negativo significa que la cantidad disminuye.
- ¿Cómo calculo la vida media?
- La vida media es el tiempo que tarda la cantidad en caer a la mitad: ln 2 dividido entre el tamaño de la tasa de decrecimiento continua, o ln 2 / −ln(1 − r) para un decrecimiento discreto de r por periodo. Elige Decrecimiento e introduce la tasa para verla.
- ¿Puedo usarla para el interés compuesto o el crecimiento de la población?
- Sí: ambos son crecimiento exponencial con una tasa fija por periodo. Para intereses con depósitos periódicos, o con capitalización varias veces por periodo, la Calculadora de interés compuesto encaja mejor. Las poblaciones reales dejan de crecer exponencialmente en algún momento, así que usa el resultado como modelo y no como previsión.