지수 성장 계산기

결과

계산 과정

1. 미지수에 대해 공식을 정리하세요.

   A = P × (1 + r)^t

2. 수를 대입하세요.

   A = 1,000 × (1 + 0.05)^10 = 1,000 × 1.628895 = 1,628.8946

3. 한 기간의 성장 계수는 1.05입니다.

   1 + 0.05 = 1.05

72, 70, 69.3 법칙

법칙들은 배가 또는 반감 시간을 백분율 비율로 나눈 상수로 추정합니다. 각각은 어림값이며, 정확한 시간은 ln 2를 계수의 ln으로 나눈 값입니다.

값의 표

그래프

지수 성장 계산기 사용 방법

1. 1. 모형을 고르세요. 기간마다 고정 비율로 변할 때는 이산형을, e의 (비율 × 시간) 거듭제곱으로 변할 때는 연속형을 고르세요.
2. 2. 성장 또는 감쇠와 구하려는 값을 고르세요. 구하려는 값의 입력 칸은 숨겨집니다. 비율은 양의 백분율로 입력하세요. 5는 5%를 뜻하며, 성장 또는 감쇠 선택이 부호를 정합니다.
3. 3. 나머지 세 값을 채우세요. 시간 단위는 표시용일 뿐이므로 연, 일, 시간 무엇이든 쓸 수 있습니다.
4. 4. 결과를 읽으세요. 구한 값이 맨 앞에 나오고, 이어서 기간당 계수, 배가 시간 또는 반감기, 어림 법칙, 값의 표, 그래프가 나옵니다.

두 가지 모형

P는 초기량, A는 시간 t가 지난 뒤의 양, r은 비율입니다. 두 모형은 비율이 서로 연결되면 같은 곡선을 나타냅니다. 이산 비율 r은 연속 비율 k = ln(1 + r)과 같고, k는 이산 비율 e^k − 1과 같습니다. 같은 명목 비율을 점점 더 자주 복리로 계산하면 극한에서 연속 모형이 됩니다. 계산기는 여러분의 비율을 두 형태로 보여 줍니다.

실제 예시

시간이나 비율을 구하려면 로그나 거듭근으로 식을 정리하세요. t = ln(A / P) / ln(1 + r), r = (A / P)^(1/t) − 1입니다. 계산기는 정리된 공식과 여러분의 수를 각각 다른 줄에 씁니다.

배가 시간, 반감기와 72 법칙

성장에서 배가 시간은 양이 두 배가 되는 데 걸리는 시간이고, 감쇠에서 반감기는 양이 절반이 되는 데 걸리는 시간입니다. 둘 다 초기량이 아니라 비율에만 의존합니다. 72 법칙은 배가 시간을 72를 백분율 비율로 나눈 값으로 추정합니다. 72는 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12로 나누어떨어지기 때문에 널리 쓰이며, 비율이 8% 근처, 대략 6%에서 10% 사이의 이산 비율에서 가장 정확합니다. 70 법칙은 2% 근처의 물가 상승률처럼 낮은 비율에 알맞고, 69.3은 ln 2 ≈ 0.693이므로 연속 성장에 자연스러운 선택입니다.

흔한 실수

• 5%를 0.05로 입력하기. 비율 칸은 백분율을 받으므로 5를 입력하세요. 0.05를 입력하면 0.05%가 됩니다.
• 감쇠에 1 + r을 사용하기. 기간마다 10% 감쇠하면 1.1이 아니라 0.9를 곱합니다. 감쇠를 고르면 계산기가 1 − r을 씁니다.
• 비율과 시간의 단위를 섞기. 연 5%의 비율에는 시간을 연 단위로, 월 5%에는 월 단위로 넣어야 합니다.
• 이산 비율과 연속 비율을 같다고 여기기. 이산 5%는 연속 약 4.879%이므로, 같은 숫자라도 두 모형은 서로 다른 양을 줍니다.
• 초기량이나 최종량이 0 이하여도 되리라 기대하기. 로그는 양수에만 정의되므로, 모형은 양의 초기량과 최종량을 필요로 합니다.

자주 묻는 질문

지수 성장의 공식은 무엇인가요?

기간마다 고정 비율로 성장하면 A = P(1 + r)^t이고, 여기서 P는 초기량, r은 기간당 소수로 나타낸 비율, t는 기간 수입니다. 연속 성장은 A = Pe^(rt)입니다. 감쇠는 음의 비율을 쓰므로, 기간마다 10% 감쇠하면 0.9를 곱합니다.

배가 시간은 어떻게 계산하나요?

이산 성장의 정확한 배가 시간은 ln 2 / ln(1 + r)이고, 연속 성장에서는 ln 2 / r입니다. 기간당 8%이면 9.0065기간입니다. 72 법칙은 가까운 추정치를 줍니다. 72를 백분율 비율로 나누세요.

72 법칙은 얼마나 정확한가요?

비율이 8% 근처일 때 가장 정확하며, 약 6%에서 10% 사이에서도 괜찮습니다. 5%에서는 이산 성장에 대해 1.4% 높게 나옵니다. 연속 성장에는 69.3 법칙이 거의 정확하며, 낮은 비율에서는 70 법칙이 72보다 낫습니다.

이산 성장과 연속 성장은 어떻게 다른가요?

이산 성장은 기간마다 한 번 비율을 적용하므로, 연 5%이면 매년 1.05를 곱합니다. 연속 성장은 모든 순간에 비율을 적용하며, 이는 점점 더 자주 복리를 계산하는 극한이고 매년 e^0.05 ≈ 1.0513을 곱합니다. 이산 비율 r은 연속 비율 ln(1 + r)과 같습니다.

두 값으로부터 성장률은 어떻게 구하나요?

비율을 구하려는 값으로 고르고 초기량, 최종량, 시간을 입력하세요. 이산 성장에서는 r = (A / P)^(1/t) − 1입니다. 예를 들어 8기간 동안 1,500에서 2,400으로 자라면 기간당 6.0511%입니다. 음수 결과는 양이 줄어든다는 뜻입니다.

반감기는 어떻게 계산하나요?

반감기는 양이 절반으로 줄어드는 시간입니다. 연속 감쇠 비율의 크기로 ln 2를 나누거나, 기간마다 r만큼 이산 감쇠한다면 ln 2 / −ln(1 − r)입니다. 감쇠를 고르고 비율을 입력하면 확인할 수 있습니다.

복리 이자나 인구 성장에도 쓸 수 있나요?

네. 둘 다 기간마다 고정 비율로 성장하는 지수 성장입니다. 정기 입금이 있거나 기간 중 여러 번 복리로 계산되는 이자라면 복리 계산기가 더 적합합니다. 실제 인구는 결국 지수 성장을 멈추므로, 결과는 예측이 아니라 모형으로 사용하세요.