기하 변환 계산기
점들이나 다각형의 꼭짓점을 입력하고 평행이동, 반사, 회전, 확대·축소 중에서 최대 네 가지 변환을 고르면, 각 점의 상, 각 단계와 전체 순서의 행렬, 변환 전후 도형 그림을 얻을 수 있습니다. 30°, 45°, 90° 같은 표준 각도는 정확한 값으로 유지됩니다. 무료이며 회원가입이 필요 없고, 입력한 내용은 브라우저 밖으로 나가지 않습니다.
점 세 개 이상은 입력한 순서대로 이어진 다각형으로 그려집니다.
변환, 입력한 순서대로 적용
정수, 소수 또는 3/4 같은 분수입니다.
결과
1
거리에 곱해지는 배율
1
넓이 배율(행렬식)
유지됨
방향
3 → 3
다각형 넓이
점들의 상
| 점 | 원래 점 | 상 |
|---|---|---|
| A → A′ | (1, 1) | (−1, 1) |
| B → B′ | (4, 1) | (−1, 4) |
| C → C′ | (1, 3) | (−3, 1) |
변환 행렬
각 단계는 (x, y, 1)에 작용하는 3 × 3 행렬입니다. 행렬들은 오른쪽에서 왼쪽으로 곱해지므로, 첫 번째 단계가 가장 오른쪽 인수입니다.
| 0 | −1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
변환 전후
파란색은 원래 도형, 주황색은 최종 상입니다. 점선 윤곽은 앞 단계까지 적용한 도형이고, 초록색은 반사선이나 중심을 나타냅니다.
기하 변환 계산기 사용 방법
- 1. 점을 입력하세요. 한 줄에 x, y 쌍 하나씩 최대 열두 개까지 입력하세요. 점이 세 개 이상이면 입력한 순서대로 이어져 다각형으로 그려집니다.
- 2. 변환을 고르세요. 각 단계는 평행이동, 반사, 회전, 확대·축소 중 하나이며, 이동 거리, 대칭선, 각도와 중심, 또는 배율과 중심 같은 자신만의 설정을 가집니다.
- 3. 필요하면 단계를 연결하세요. 최대 네 단계까지 추가할 수 있으며, 표시된 순서대로 적용됩니다. 그림의 점선 윤곽은 앞 단계까지 적용한 도형을 보여 줍니다.
- 4. 상, 행렬, 그림을 읽으세요. 표에는 모든 점과 그 상이 나오고, 행렬은 변환을 숫자로 나타내며, 그림은 원래 도형을 결과 위에 겹쳐 보여 줍니다.
네 가지 강체 변환과 닮음 변환
| 변환 | (x, y)에 대한 규칙 | 보존되는 성질 |
|---|---|---|
| (a, b)만큼 평행이동 | (x + a, y + b) | 크기, 모양, 방향과 진행 방향 |
| x축에 대한 반사 | (x, −y) | 크기와 모양을 보존하고, 방향은 뒤바뀜 |
| y축에 대한 반사 | (−x, y) | 크기와 모양을 보존하고, 방향은 뒤바뀜 |
| y = x에 대한 반사 | (y, x) | 크기와 모양을 보존하고, 방향은 뒤바뀜 |
| 원점에 대한 θ 회전 | (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) | 크기, 모양, 방향 |
| 원점에 대한 k배 확대·축소 | (kx, ky) | 모양. 길이는 |k|배, 넓이는 k²배가 됨 |
다른 중심이나 다른 직선에 대한 변환은 이 변환들로 만듭니다. 중심을 원점으로 옮기고, 변환한 뒤, 다시 원래 자리로 되돌리면 됩니다.
변환 행렬
평행이동은 선형이 아니므로 2 × 2 행렬로는 나타낼 수 없습니다. 해결 방법은 동차 좌표입니다. 점을 (x, y, 1)로 쓰고 3 × 3 행렬을 사용합니다. (a, b)만큼의 평행이동은 행이 (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1)인 행렬이 되고, θ만큼의 회전은 (cos θ, −sin θ, 0), (sin θ, cos θ, 0), (0, 0, 1)이 되며, k배 확대·축소는 (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1)이 됩니다. 모든 단계가 행렬이므로 변환 순서 전체도 행렬 하나로 나타낼 수 있습니다. 이는 단계별 행렬을 곱한 것이며, 첫 번째 단계가 가장 오른쪽 인수가 됩니다. 중심 (c, d)에 대한 회전은 T(c, d) · R · T(−c, −d)입니다.
행렬의 왼쪽 위 2 × 2 부분의 행렬식은 넓이가 어떻게 변하는지와 도형이 뒤집히는지를 알려 줍니다. 행렬식이 1이면 넓이와 방향이 유지되고(평행이동과 회전), −1이면 넓이는 유지되지만 방향이 뒤집히며(한 번의 반사), k²이면 넓이가 배율 k의 제곱만큼 바뀝니다. 계산기는 이 행렬식과 함께 거리에 곱해지는 배율도 보여 줍니다.
실제 예시
꼭짓점이 A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3)인 삼각형으로 시작해 봅시다. 이 삼각형의 넓이는 3입니다.
- 원점에 대해 반시계 방향으로 90° 회전. (x, y)는 (−y, x)가 되므로 A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1)입니다. 행렬은 (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)이고, 행렬식은 1입니다.
- y축에 대한 반사. (x, y)는 (−x, y)가 되므로 A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3)입니다. 행렬식은 −1이므로 방향이 뒤바뀝니다.
- (3, −2)만큼 평행이동. A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1)입니다.
- 원점에 대해 k = 2배 확대. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6)입니다. 길이는 두 배가 되고, 넓이는 3에서 12 = 3 × 2²로 바뀝니다.
- 원점에 대해 45° 회전. 점 (1, 0)은 (√2/2, √2/2)로 가며, 이 값은 정확한 형태로 유지됩니다.
- 순서가 중요합니다. 점 (1, 0)을 봅시다. 90° 회전한 뒤 (1, 0)만큼 평행이동하면 (1, 0) → (0, 1) → (1, 1)입니다. 먼저 평행이동한 뒤 회전하면 (1, 0) → (2, 0) → (0, 2)입니다.
다른 직선에 대한 반사
직선 y = mx + b에 대해서는 계산기가 y = mx에 대한 반사 행렬을 사용합니다. 이 행렬은 (1 − m², 2m; 2m, m² − 1)을 1 + m²으로 나눈 것이며, b만큼의 평행이동으로 앞뒤를 감쌉니다. 모든 성분이 유리수이므로 결과는 정확합니다. 수직선 x = c는 x를 2c − x로 보냅니다. 예를 들어 원점을 y = x + 2에 대해 반사하면 (−2, 2)가 됩니다. 이 직선이 원점과 상을 잇는 선분의 수직이등분선이기 때문입니다.
자주 묻는 질문
- 기하 변환이란 무엇인가요?
- 평면의 모든 점을 새 위치로 옮기는 규칙입니다. 평행이동은 밀고, 반사는 직선을 기준으로 뒤집고, 회전은 중심을 기준으로 돌리고, 확대·축소는 중심을 기준으로 크기를 바꿉니다. 앞의 세 가지는 거리를 바꾸지 않는 강체 운동이고, 확대·축소는 모양은 유지하면서 크기를 바꿉니다.
- 점을 원점 둘레로 90도 회전하려면 어떻게 하나요?
- 반시계 방향이면 (x, y)는 (−y, x)가 되고, 시계 방향이면 (y, −x)가 됩니다. (3, 2)의 경우 반시계 방향은 (−2, 3), 시계 방향은 (2, −3)입니다. 180° 회전은 (x, y)를 (−x, −y)로 보냅니다.
- 원점이 아닌 점을 중심으로 회전하려면 어떻게 하나요?
- 점에서 중심을 뺀 뒤, 그 결과를 원점에 대해 회전하고, 다시 중심을 더합니다. 계산기는 T(c) · R · T(−c) 행렬로 이 과정을 처리하며, 선택한 중심에 대한 확대·축소도 같은 방식으로 처리합니다.
- 확대·축소하면 넓이는 어떻게 되나요?
- 길이는 |k|배, 넓이는 k²배가 됩니다. 배율이 3이면 도형의 너비는 세 배, 넓이는 아홉 배가 됩니다. k가 음수이면 도형은 중심을 기준으로 뒤집히며, 이는 |k|배 확대·축소한 뒤 180° 회전한 것과 같습니다.
- 변환의 순서가 중요한가요?
- 보통은 중요합니다. 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않으므로, 위 예시에서 본 것처럼 회전 후 평행이동은 평행이동 후 회전과 다릅니다. 같은 중심에 대한 두 회전과 두 평행이동은 순서를 바꿔도 결과가 같습니다.
- y = x에 대해 반사하려면 어떻게 하나요?
- 좌표를 서로 바꿉니다. (x, y)는 (y, x)가 됩니다. y = −x에 대한 반사는 (x, y)를 (−y, −x)로 보냅니다. 다른 직선 y = mx + b에 대해서는 반사 단계에서 해당 옵션을 고르고 m과 b를 입력하세요.