정적분 계산기

결과

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

정적분 계산기 사용 방법

1. 1. 함수를 입력하세요. 변수는 x를 씁니다: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). 곱셈 기호는 생략할 수 있어서 2x와 x sin x도 작동합니다.
2. 2. 한계를 입력하세요. 0, -2, pi/2 같은 숫자나 상수를 쓰세요. 이상적분이라면 무한 한계로 inf 또는 -inf를 입력하세요.
3. 3. 값과 오차를 읽으세요. 추정 절대 오차는 표시된 자릿수 중 몇 개를 믿어도 되는지 알려 줍니다. f의 부호가 바뀌면 순 부호 넓이 옆에 전체 무부호 넓이 ∫|f|가 함께 표시됩니다.
4. 4. 알림과 그래프를 확인하세요. 특이점, 무한 한계, 수렴 문제는 쉬운 말로 보고되며, 그래프는 축 위의 넓이(파랑)와 아래의 넓이(주황)를 색칠합니다.

적분은 어떻게 계산되나요

기본 방법은 QUADPACK의 바탕이 되는 적응형 가우스–크론로드 방식입니다. 각 부분구간에서 7점 가우스 규칙과 15점 크론로드 규칙을 중첩된 점들에서 계산하고, 크론로드 값을 추정치로, 두 값의 차를 오차 추정으로 씁니다. 오차가 가장 큰 부분구간을 둘로 나누고, 전체 오차가 결과의 10⁻¹⁰ 이하(또는 절대 10⁻¹²)가 될 때까지 이 과정을 되풀이합니다. 매끄러운 함수에서는 보통 몇백 번 이하의 계산으로 12~14자리의 정확한 숫자를 얻습니다.

무한 한계는 x = a + t/(1 − t)로 [0, 1) 구간에 대응됩니다. ln x나 0에서의 1/√x처럼 f가 끝점에서 유한하지 않으면, 계산기는 적분 가능한 끝점 특이점을 다루는 탄젠트 쌍곡선(이중 지수) 구적법(tanh–sinh) 방법으로 전환합니다. 이 결과는 약 8자리까지 보고됩니다. 배경은 NIST 디지털 수학 함수 라이브러리, §3.5를 보세요.

실제 예시

특이점, 발산과 그 경고

• 적분 가능한 특이점. ∫₀¹ 1/√x dx = 2와 ∫₀¹ ln x dx = −1은 0에서 피적분함수가 무한히 커지더라도 유한합니다. 계산기는 끝점이 이상적임을 알리고 tanh–sinh 규칙을 사용합니다.
• 발산. ∫₀¹ 1/x dx에서는 0에 가까이 멈출수록 넓이가 계속 커집니다. 계산기는 문제 지점에 점점 가까운 곳까지 적분해 이를 확인하며, 증가분이 줄어들지 않으면 값을 내지 않고 발산을 알립니다. 같은 검사로 ∫₋₁¹ 1/x dx도 거부합니다. 두 반쪽이 서로 상쇄되어(주값 0) 그 자체로는 각각 발산하므로, 적분은 존재하지 않습니다.
• 일부 구간에서 실수 값이 없음. ∫₋₁¹ √x dx는 음수 x에서 √x가 실수가 아니므로 값이 없습니다. 계산기는 f가 정의되지 않는 지점을 알려 줍니다.
• 좁은 뾰족점. 어떤 수치 규칙도 샘플 간격보다 훨씬 좁은 구조는 놓칠 수 있습니다. 도움이 되도록 구간을 먼저 여덟 개의 패널로 나누지만, 뾰족점이 의심되면 그 지점에서 직접 적분을 나누세요.

자주 묻는 질문

정적분은 무엇을 나타내나요?

a에서 b까지 곡선 y = f(x)와 x축 사이의 순 부호 넓이입니다. 축 위의 넓이는 양수로, 아래의 넓이는 음수로 셉니다. 미적분학의 기본 정리에 따라, 변화율이 f(x)인 어떤 양의 누적 변화량과도 같습니다.

적분값은 0인데 넓이는 0이 아닌 이유는 무엇인가요?

sin x를 [0, 2π]에서 적분하면 축 위와 아래의 부분이 상쇄되어 순 적분은 0이지만, 기하학적 넓이는 4입니다. 계산기는 f의 부호가 바뀔 때마다 둘을 함께 보여 주며, |f|의 적분이 전체 넓이를 줍니다.

결과는 얼마나 정확한가요?

매끄러운 함수에서는 오차 추정치가 보통 10⁻¹³ 이하이며, 값은 유효숫자 10자리로 보고됩니다. 이상적분과 무한 한계에서는 정확도가 약 8자리입니다. 표시된 오차는 수치 오차의 추정치이지, 수학적으로 보장된 상한은 아닙니다.

이상적분이란 무엇인가요?

무한 한계를 가지거나, 구간의 한 점에서 피적분함수가 유계가 아닌 적분입니다. 극한으로 정의되며, 그 극한이 유한할 때만 수렴합니다. ∫₁^∞ x⁻² dx = 1은 수렴하지만, ∫₁^∞ 1/x dx는 수렴하지 않습니다.

역도함수를 구해 주나요?

아니요. 적분을 수치적으로 계산합니다. 이 방법은 e^(−x²)나 sin(x)/x처럼 초등 역도함수가 없는 함수에도 작동합니다. 단계별 기호 계산이 필요하다면 미분 계산기를 사용하세요.

0을 가로지르는 sin(x)/x는 어떻게 적분하나요?

0을 포함하는 한계, 예를 들어 −1에서 1까지로 그냥 입력하세요. 함수는 정확히 0에서 정의되지 않지만 그곳의 극한값은 1이며, 구간은 그 점 자체가 샘플링되지 않도록 나뉩니다. 결과는 1.892166141이며, 이는 2·Si(1)입니다.

함수에 a·x² 같은 매개변수가 있으면 어떻게 하나요?

먼저 매개변수를 숫자로 바꾸세요. 정적분은 하나의 숫자이므로, 적분 변수를 제외한 모든 문자에 값이 있어야 합니다. 어떤 문자든 변수가 될 수 있지만, 변수는 하나뿐이어야 합니다.