Calculadora de integrales definidas

Resultados

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

Cómo usar la calculadora de integrales definidas

1. 1. Escribe la función. Usa x como variable: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). Se puede omitir el signo de multiplicar, así que 2x y x sin x funcionan.
2. 2. Introduce los límites. Usa números o constantes como 0, -2 o pi/2. Para una integral impropia, escribe inf o -inf para un límite infinito.
3. 3. Lee el valor y su error. El error absoluto estimado indica cuántas de las cifras mostradas son fiables. Si f cambia de signo, el área total sin signo ∫|f| se muestra junto al área neta con signo.
4. 4. Revisa las notas y la gráfica. Cualquier singularidad, límite infinito o problema de convergencia se indica con palabras sencillas, y la gráfica sombrea el área sobre el eje (azul) y bajo él (naranja).

Cómo se calcula la integral

El método por defecto es la cuadratura adaptativa de Gauss–Kronrod, el esquema en el que se basa QUADPACK. En cada subintervalo se evalúan una regla de Gauss de 7 puntos y una regla de Kronrod de 15 puntos en puntos anidados; el valor de Kronrod es la estimación y la diferencia entre ambas es la estimación del error. El subintervalo con mayor error se divide en dos, y el proceso se repite hasta que el error total queda por debajo de 10⁻¹⁰ del resultado (o de 10⁻¹² en absoluto). Para funciones suaves, esto suele dar entre 12 y 14 cifras correctas con unas pocas centenas de evaluaciones o menos.

Un límite infinito se transforma en [0, 1) con x = a + t/(1 − t). Cuando f no es finita en un extremo, como ln x o 1/√x en 0, la calculadora cambia a la cuadratura de tanh–sinh (doble exponencial), que maneja singularidades integrables en los extremos; esos resultados se indican con unas ocho cifras. Véase el Digital Library of Mathematical Functions del NIST, §3.5 para el fundamento de la cuadratura.

Ejemplos desarrollados

Singularidades, divergencia y sus avisos

• Singularidad integrable. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 y ∫₀¹ ln x dx = −1 son finitas aunque el integrando se dispare en 0. La calculadora señala el extremo impropio y usa la regla de tanh–sinh.
• Divergencia. Para ∫₀¹ 1/x dx, el área crece cada vez más a medida que te acercas a 0. La herramienta lo comprueba integrando hasta puntos cada vez más cercanos al punto problemático; si los incrementos no disminuyen, informa de divergencia en lugar de dar un valor. La misma prueba rechaza ∫₋₁¹ 1/x dx: sus dos mitades se cancelan (un valor principal de 0), pero cada una diverge por separado, así que la integral no existe.
• No real en parte del intervalo. ∫₋₁¹ √x dx no tiene valor, ya que √x no es real para x negativo. La calculadora indica el punto donde f deja de estar definida.
• Picos estrechos. Cualquier regla numérica puede pasar por alto un detalle mucho más estrecho que su separación entre muestras. El intervalo se divide primero en ocho paneles para ayudar, pero si sospechas un pico, divide tú la integral en ese punto.

Preguntas frecuentes

¿Qué representa una integral definida?

Es el área neta con signo entre la curva y = f(x) y el eje x desde a hasta b: el área por encima del eje cuenta como positiva, y la que está por debajo, como negativa. Por el teorema fundamental del cálculo, también es igual al cambio acumulado de cualquier magnitud cuya tasa de cambio sea f(x).

¿Por qué la integral es 0 si el área no es 0?

Para sin x en [0, 2π], la parte sobre el eje y la parte bajo él se cancelan, así que la integral neta es 0, pero el área geométrica es 4. La calculadora muestra ambas cuando la función cambia de signo: la integral de |f| da el área total.

¿Qué precisión tiene el resultado?

Para funciones suaves, el error estimado suele ser de alrededor de 10⁻¹³ o menos, y el valor se indica con diez cifras significativas. Para integrales impropias y límites infinitos, la precisión indicada es de unas ocho cifras. El error mostrado es una estimación del error numérico, no una cota garantizada matemáticamente.

¿Qué es una integral impropia?

Una integral con un límite infinito, o en la que el integrando no está acotado en un punto del intervalo. Se define como un límite, y solo converge si ese límite es finito: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 converge, pero ∫₁^∞ 1/x dx no.

¿Puede dar la primitiva?

No. Evalúa la integral numéricamente, lo que también funciona con funciones sin primitiva elemental, como e^(−x²) o sin(x)/x. La Calculadora de derivadas es la herramienta para el trabajo simbólico con pasos.

¿Cómo integro sin(x)/x a través de 0?

Simplemente introdúcela con límites que incluyan 0, como −1 a 1. La función no está definida exactamente en 0, pero tiene un límite de 1 allí, y el intervalo se divide para que el propio punto nunca se muestree; el resultado es 1,892166141, que es 2·Si(1).

¿Y si mi función tiene un parámetro, como a·x²?

Sustituye primero el parámetro por un número. Una integral definida es un único número, así que todas las letras salvo la variable de integración deben tener un valor. Cualquier letra puede ser la variable, pero solo una.