Kalkulator całki oznaczonej

Wyniki

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

Jak korzystać z kalkulatora całki oznaczonej

1. 1. Wpisz funkcję. Jako zmiennej użyj x: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). Mnożenie można pominąć, więc 2x i x sin x też działają.
2. 2. Wpisz granice. Użyj liczb lub stałych, takich jak 0, -2 lub pi/2. Dla całki niewłaściwej wpisz inf lub -inf jako granicę nieskończoną.
3. 3. Odczytaj wartość i jej błąd. Szacowany błąd bezwzględny mówi, ile z wypisanych cyfr można ufać. Jeśli f zmienia znak, całkowite pole bez znaku ∫|f| jest pokazane obok pola netto ze znakiem.
4. 4. Sprawdź uwagi i wykres. Każda osobliwość, granica nieskończona lub problem ze zbieżnością jest opisana prostymi słowami, a wykres zaznacza pole nad osią (na niebiesko) i pod osią (na pomarańczowo).

Jak obliczana jest całka

Domyślną metodą jest adaptacyjna kwadratura Gaussa–Kronroda, na której opiera się QUADPACK. Na każdym podprzedziale oblicza się regułę Gaussa 7-punktową i regułę Kronroda 15-punktową w zagnieżdżonych punktach; wartość Kronroda jest estymatą, a różnica między nimi — szacunkiem błędu. Podprzedział z największym błędem jest dzielony na dwie części, a proces powtarza się, aż błąd całkowity spadnie poniżej 10⁻¹⁰ wyniku (lub 10⁻¹² bezwzględnie). Dla funkcji gładkich daje to zwykle od 12 do 14 poprawnych cyfr przy kilkuset obliczeniach wartości funkcji lub mniej.

Granica nieskończona jest odwzorowywana na [0, 1) przez x = a + t/(1 − t). Gdy f nie jest skończona na końcu przedziału, jak ln x lub 1/√x przy 0, kalkulator przełącza się na kwadraturę tanh–sinh (podwójnie wykładniczą), która radzi sobie z całkowalnymi osobliwościami na końcach; takie wyniki podaje się z dokładnością około ośmiu cyfr. Tło metody znajdziesz w Cyfrowej bibliotece funkcji matematycznych NIST, §3.5.

Przykłady krok po kroku

Osobliwości, rozbieżność i ich ostrzeżenia

• Całkowalna osobliwość. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 oraz ∫₀¹ ln x dx = −1 są skończone, mimo że funkcja podcałkowa rośnie do nieskończoności w 0. Kalkulator odnotowuje niewłaściwy koniec przedziału i stosuje regułę tanh–sinh.
• Rozbieżność. Dla ∫₀¹ 1/x dx pole rośnie, im bliżej 0 się zatrzymujemy. Narzędzie sprawdza to, całkując do punktów coraz bliższych problematycznemu miejscu; jeśli przyrosty nie maleją, podaje rozbieżność zamiast wartości. Ten sam test odrzuca ∫₋₁¹ 1/x dx: jej dwie połowy się znoszą (wartość główna 0), ale każda z osobna jest rozbieżna, więc całka nie istnieje.
• Brak wartości rzeczywistej na części przedziału. ∫₋₁¹ √x dx nie ma wartości, ponieważ √x nie jest rzeczywiste dla ujemnych x. Kalkulator wskazuje punkt, w którym f przestaje być określona.
• Wąskie szpilki. Każda reguła numeryczna może przeoczyć cechę znacznie węższą niż odstęp między punktami próbkowania. Przedział jest najpierw dzielony na osiem podprzedziałów, by temu zaradzić, ale jeśli podejrzewasz szpilkę, podziel całkę w tym miejscu samodzielnie.

Najczęstsze pytania

Co przedstawia całka oznaczona?

To pole netto ze znakiem między krzywą y = f(x) a osią x od a do b: pole nad osią liczy się jako dodatnie, a pod osią jako ujemne. Na mocy twierdzenia Newtona–Leibniza (fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego) równa jest też skumulowanej zmianie dowolnej wielkości, której tempo zmiany wynosi f(x).

Dlaczego całka wynosi 0, a pole nie?

Dla sin x na [0, 2π] część nad osią i część pod osią się znoszą, więc całka netto wynosi 0, ale pole geometryczne to 4. Kalkulator pokazuje oba wyniki zawsze, gdy funkcja zmienia znak: całka z |f| daje pole całkowite.

Jak dokładny jest wynik?

Dla funkcji gładkich szacunek błędu jest zwykle rzędu 10⁻¹³ lub mniejszy, a wartość podawana jest z dziesięcioma cyframi znaczącymi. Dla całek niewłaściwych i granic nieskończonych deklarowana dokładność to około ośmiu cyfr. Pokazany błąd jest szacunkiem błędu numerycznego, a nie matematycznie gwarantowanym ograniczeniem.

Czym jest całka niewłaściwa?

Całką z nieskończoną granicą albo taką, w której funkcja podcałkowa jest nieograniczona w punkcie przedziału. Definiuje się ją jako granicę i jest zbieżna tylko wtedy, gdy ta granica jest skończona: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 jest zbieżna, ale ∫₁^∞ 1/x dx nie jest.

Czy kalkulator poda funkcję pierwotną?

Nie. Oblicza całkę numerycznie, co działa także dla funkcji bez elementarnej funkcji pierwotnej, jak e^(−x²) czy sin(x)/x. Do pracy symbolicznej z krokami służy Kalkulator pochodnych.

Jak scałkować sin(x)/x przez 0?

Wpisz ją po prostu z granicami obejmującymi 0, na przykład od −1 do 1. Funkcja w dokładnie 0 nie jest określona, ale ma tam granicę równą 1, a przedział jest tak dzielony, że sam punkt nigdy nie jest próbkowany; wynik to 1,892166141, czyli 2·Si(1).

Co, jeśli moja funkcja ma parametr, na przykład a·x²?

Najpierw zastąp parametr liczbą. Całka oznaczona jest pojedynczą liczbą, więc każda litera poza zmienną całkowania musi mieć wartość. Zmienną może być dowolna litera, ale tylko jedna.