Kalkulator NWD i NWW

Wyniki

NWD algorytmem Euklidesa

Dziel większą liczbę przez mniejszą, potem dziel ostatni dzielnik przez resztę, aż reszta wyniesie 0. Ostatni dzielnik to NWD.

Przy więcej niż dwóch liczbach łączy się je po jednej: NWD(NWD(12, 18), 30) = NWD(6, 30) = 6.

NWW z NWD

Dla dwóch liczb NWW(a, b) = a × b ÷ NWD(a, b). Przy większej liczbie łączy się je po jednej.

Metoda rozkładu na czynniki pierwsze

Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze. NWD bierze każdą liczbę pierwszą, którą liczby mają wspólnie, w najmniejszej potędze; NWW bierze każdą liczbę pierwszą, która się pojawia, w największej potędze.

Jak korzystać z kalkulatora NWD i NWW

1. 1. Wpisz liczby. Oddziel je przecinkami lub spacjami: 12, 18, 30. Wystarczą dwie liczby; przyjmowanych jest do dwunastu. Nie wpisuj separatorów tysięcy, bo przecinek oznacza tutaj początek nowej liczby.
2. 2. Odczytaj dwa wyniki. NWD i NWW pojawiają się u góry, wraz z uwagą, gdy NWD wynosi 1 i liczby są względnie pierwsze.
3. 3. Idź metodą, której cię uczono. Algorytm Euklidesa wypisuje każde dzielenie; tabela rozkładu na czynniki pokazuje potęgę każdej liczby pierwszej w każdej liczbie oraz to, którą potęgę przyjmuje NWD i NWW.
4. 4. Skopiuj wynik. Przycisk kopiowania daje jednowierszowe podsumowanie, na przykład NWD(12, 18, 30) = 6; NWW(12, 18, 30) = 180.

Dwa sposoby na NWD i NWW

Algorytm Euklidesa

Algorytm Euklidesa, z księgi VII jego Elementów (około 300 r. p.n.e.), opiera się na jednym fakcie: NWD dwóch liczb dzieli także ich resztę. Podziel więc większą liczbę przez mniejszą, zastąp większą resztą i powtarzaj. Gdy reszta wyniesie 0, ostatni dzielnik jest NWD. Dla 48 i 180:

180 = 3 × 48 + 36
48 = 1 × 36 + 12
36 = 3 × 12 + 0  →  NWD(48, 180) = 12

Jest szybki bez względu na rozmiar liczb: liczba dzieleń nigdy nie przekracza pięciokrotności liczby cyfr w mniejszej z nich. Dlatego to metoda używana przez komputery i dlatego ten kalkulator może od razu pracować na 40-cyfrowych liczbach.

Rozkład na czynniki pierwsze

Zapisz każdą liczbę jako iloczyn liczb pierwszych. NWD to iloczyn liczb pierwszych, które liczby mają wspólne, każda w najmniejszej potędze; NWW to iloczyn wszystkich liczb pierwszych, które się pojawiają, każda w największej potędze. Dla 48 = 2⁴ × 3 i 180 = 2² × 3² × 5 NWD wynosi 2² × 3 = 12, a NWW wynosi 2⁴ × 3² × 5 = 720. Metoda pokazuje strukturę, ale opiera się na rozkładzie, który przy bardzo dużych liczbach jest powolny.

Dla dwóch liczb istnieje też skrót, który łączy wyniki: NWW(a, b) = a × b ÷ NWD(a, b). Dla 48 i 180 to 8640 ÷ 12 = 720. Kalkulator używa tego, by zbudować NWW z NWD.

Przykład krok po kroku: 12, 18 i 30

1. NWD pierwszej pary. 18 = 1 × 12 + 6, potem 12 = 2 × 6 + 0, więc NWD(12, 18) = 6.
2. Dołącz trzecią liczbę. 30 = 5 × 6 + 0, więc NWD(NWD(12, 18), 30) = NWD(6, 30) = 6.
3. NWW, parami. NWW(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, potem NWW(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
4. Sprawdzenie czynnikami pierwszymi. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² i 30 = 2 × 3 × 5. Wspólne liczby pierwsze w najmniejszych potęgach dają 2 × 3 = 6; wszystkie liczby pierwsze w największych potęgach dają 2² × 3² × 5 = 180.

Kiedy potrzebujesz NWD lub NWW

Najczęstsze pytania

Jaka jest różnica między NWD a NWW?

Największy wspólny dzielnik to największa liczba, która dzieli każdą liczbę z listy, więc nigdy nie jest większy od najmniejszej z nich. Najmniejsza wspólna wielokrotność to najmniejsza liczba, którą dzieli każda liczba z listy, więc nigdy nie jest mniejsza od największej. Dla 12 i 18 NWD wynosi 6, a NWW wynosi 36.

Czy NWD, GCD i HCF to to samo?

Tak. Największy wspólny dzielnik (NWD), w angielskim GCF lub GCD, oraz HCF (highest common factor, brytyjski termin) to trzy nazwy tej samej liczby. Najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) nazywa się po angielsku LCM albo lowest common multiple.

Jaki jest NWD dwóch liczb pierwszych?

Wynosi 1, bo liczba pierwsza ma tylko dzielniki 1 i samą siebie. Dwie liczby, których NWD to 1, nazywają się względnie pierwszymi (coprime), a ich NWW to po prostu iloczyn: NWW(7, 11) = 77. Liczby mogą być względnie pierwsze bez bycia liczbami pierwszymi, jak 8 i 15.

Jak znaleźć NWW trzech lub więcej liczb?

Bierz po jednej parze: najpierw NWW dwóch pierwszych, potem NWW tego wyniku i trzeciej liczby, i tak dalej. Albo rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze i pomnóż każdą liczbę pierwszą w najwyższej potędze, jaką osiąga w którejkolwiek z nich.

Dlaczego nie mogę wpisać 0?

Każda liczba całkowita dzieli 0, więc NWD(0, n) to po prostu n, a NWW(0, n) to według umowy 0 — żadne z nich nie wymaga obliczeń, a 0 nie ma rozkładu na czynniki pierwsze do pokazania. Usuń 0, a kalkulator porówna pozostałe liczby.

Czy NWD × NWW zawsze równa się iloczynowi liczb?

Tylko dla dwóch liczb: NWD(a, b) × NWW(a, b) = a × b. Przy trzech lub więcej to nie działa — dla 2, 4 i 8 NWD wynosi 2, a NWW wynosi 8, więc ich iloczyn to 16, a nie 64.