GCF और LCM कैलकुलेटर
दो या अधिक पूर्ण संख्याएँ दर्ज करें और उनका महत्तम समापवर्तक तथा लघुत्तम समापवर्त्य पाएँ। उत्तर दो तरीकों से साथ-साथ हल होता है — यूक्लिड का भाग एल्गोरिदम और अभाज्य गुणनखंड विधि — ताकि आप जो विधि आपकी कक्षा में पढ़ाई जाती है, उसे आसानी से समझ सकें। 40 अंकों तक की संख्याएँ सटीक रूप से संभाली जाती हैं।
दो या अधिक, अल्पविराम या स्पेस से अलग। चिह्न अनदेखे किए जाते हैं: दोनों निरपेक्ष मानों पर परिभाषित हैं।
परिणाम
6
महत्तम समापवर्तक (GCF)
180
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)
3
तुलना की गई संख्याएँ
यूक्लिड एल्गोरिदम से GCF
बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, फिर भाजक को शेषफल से भाग दें, और यह तब तक करें जब तक शेषफल 0 न हो जाए। आख़िरी भाजक GCF है।
GCF(12, 18)
18 = 1 × 12 + 6
12 = 2 × 6 + 0
शेषफल 0 पर पहुँचा, इसलिए GCF(12, 18) = 6।
GCF(6, 30)
30 = 5 × 6 + 0
शेषफल 0 पर पहुँचा, इसलिए GCF(6, 30) = 6।
दो से अधिक संख्याओं के साथ उन्हें एक-एक करके जोड़ा जाता है: GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6।
GCF से LCM
दो संख्याओं के लिए, LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)। अधिक होने पर उन्हें एक-एक करके जोड़ा जाता है।
LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36
LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180
अभाज्य गुणनखंड विधि
हर संख्या को अभाज्यों में गुणनखंडित करें। GCF हर वह अभाज्य लेता है जो संख्याएँ साझा करती हैं, उसकी सबसे छोटी घात पर; LCM हर वह अभाज्य लेता है जो दिखता है, उसकी सबसे बड़ी घात पर।
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
| अभाज्य | 12 | 18 | 30 | GCF (सबसे छोटी घात) | LCM (सबसे बड़ी घात) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2 | 2 | 2 | 2² |
| 3 | 3 | 3² | 3 | 3 | 3² |
| 5 | — | — | 5 | — | 5 |
GCF = 2 × 3 = 6
LCM = 2² × 3² × 5 = 180
GCF और LCM कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. संख्याएँ लिखें। उन्हें अल्पविराम या स्पेस से अलग करें: 12, 18, 30। दो संख्याएँ काफ़ी हैं; बारह तक स्वीकार होती हैं। हज़ार वाले विभाजक न लिखें, क्योंकि यहाँ अल्पविराम नई संख्या शुरू करता है।
- 2. दोनों उत्तर पढ़ें। GCF और LCM ऊपर दिखते हैं, और जब GCF 1 हो तो एक नोट भी दिखता है कि संख्याएँ सह-अभाज्य हैं।
- 3. जो विधि आपने सीखी है, उसे अपनाएँ। यूक्लिड एल्गोरिदम हर भाग को सूचीबद्ध करता है; अभाज्य गुणनखंड तालिका दिखाती है कि हर संख्या में हर अभाज्य की घात क्या है और GCF और LCM कौन-सी घात लेते हैं।
- 4. परिणाम कॉपी करें। कॉपी बटन एक-पंक्ति का सारांश देता है, जैसे GCF(12, 18, 30) = 6; LCM(12, 18, 30) = 180।
GCF और LCM निकालने के दो तरीके
यूक्लिड एल्गोरिदम
यूक्लिड का एल्गोरिदम उनकी पुस्तक Elements के खंड VII से है (लगभग 300 ईसा पूर्व), और यह एक तथ्य पर टिका है: दो संख्याओं का GCF उनके शेषफल को भी भाग देता है। इसलिए बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, बड़ी की जगह शेषफल रखें, और दोहराएँ। जब शेषफल 0 हो जाए, तो आख़िरी भाजक GCF है। 48 और 180 के लिए:
180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → GCF(48, 180) = 12
संख्याओं का आकार कुछ भी हो, यह तेज़ रहता है: भागों की संख्या छोटी संख्या के अंकों की संख्या के पाँच गुने से कभी अधिक नहीं होती। इसीलिए कंप्यूटर यही विधि इस्तेमाल करते हैं, और इसीलिए यह कैलकुलेटर 40-अंकों की संख्याओं पर तुरंत काम कर सकता है।
अभाज्य गुणनखंड
हर संख्या को अभाज्य गुणनफल के रूप में लिखें। GCF वे अभाज्य होते हैं जो संख्याएँ साझा करती हैं, हर एक अपनी सबसे छोटी घात पर; LCM उन सभी अभाज्यों का गुणनफल है जो दिखते हैं, हर एक अपनी सबसे बड़ी घात पर। 48 = 2⁴ × 3 और 180 = 2² × 3² × 5 के साथ GCF = 2² × 3 = 12 और LCM = 2⁴ × 3² × 5 = 720 है। यह विधि संरचना दिखाती है, पर यह गुणनखंड पर निर्भर है, जो बहुत बड़ी संख्याओं के लिए धीमी हो जाती है।
दो संख्याओं के लिए एक शॉर्टकट भी है जो उत्तरों को जोड़ता है: LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)। 48 और 180 के लिए यह 8640 ÷ 12 = 720 है। कैलकुलेटर GCF से LCM बनाने के लिए इसी का उपयोग करता है।
हल किया गया उदाहरण: 12, 18 और 30
- पहले जोड़े का GCF। 18 = 1 × 12 + 6, फिर 12 = 2 × 6 + 0, इसलिए GCF(12, 18) = 6।
- तीसरी संख्या जोड़ें। 30 = 5 × 6 + 0, इसलिए GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6।
- LCM, एक-एक जोड़े से। LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, फिर LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180।
- अभाज्यों से जाँचें। 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² और 30 = 2 × 3 × 5। साझा अभाज्य अपनी सबसे छोटी घात पर लेने से 2 × 3 = 6 मिलता है; सभी अभाज्य अपनी सबसे बड़ी घात पर लेने से 2² × 3² × 5 = 180 मिलता है।
कब GCF या LCM चाहिए
| समस्या | उपयोग | उदाहरण |
|---|---|---|
| भिन्न को सरल करना | GCF | 18/30: दोनों को GCF 6 से भाग दें, तो 3/5 मिलता है। |
| भिन्न जोड़ना | LCM | 1/12 + 1/18: सबसे छोटा सामान्य हर 36 है। |
| बराबर समूहों में बाँटना | GCF | 12 पेन और 18 पेंसिल से अधिक से अधिक 6 एक-जैसे किट बनते हैं। |
| दोहराने वाले चक्र मिलाना | LCM | हर 12 और 18 मिनट पर आने वाली बसें 36 मिनट बाद फिर मिलती हैं। |
| व्यंजक का गुणनखंड करना | GCF | 12x + 18 = 6(2x + 3)। |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- GCF और LCM में क्या अंतर है?
- महत्तम समापवर्तक सबसे बड़ी संख्या है जो सूची की हर संख्या को भाग देती है, इसलिए वह उनमें से सबसे छोटी से कभी बड़ी नहीं होती। लघुत्तम समापवर्त्य सबसे छोटी संख्या है जिसे सूची की हर संख्या भाग देती है, इसलिए वह सबसे बड़ी से कभी छोटी नहीं होती। 12 और 18 के लिए GCF 6 है और LCM 36 है।
- क्या GCF, GCD और HCF एक ही चीज़ हैं?
- हाँ। महत्तम समापवर्तक (GCF), greatest common divisor (GCD) और highest common factor (HCF, ब्रिटेन में आम शब्द) एक ही संख्या के तीन नाम हैं। LCM को कभी-कभी lowest common multiple भी कहा जाता है।
- दो अभाज्य संख्याओं का GCF क्या है?
- 1, क्योंकि किसी अभाज्य के केवल गुणनखंड 1 और वह स्वयं होते हैं। जिन दो संख्याओं का GCF 1 हो, उन्हें सह-अभाज्य या परस्पर अभाज्य कहते हैं, और उनका LCM बस उनका गुणनफल होता है: LCM(7, 11) = 77। संख्याएँ अभाज्य न होते हुए भी सह-अभाज्य हो सकती हैं, जैसे 8 और 15।
- तीन या अधिक संख्याओं का LCM कैसे निकालें?
- एक-एक जोड़ा लेकर काम करें: पहली दो का LCM निकालें, फिर उस परिणाम और तीसरी संख्या का LCM, और इसी तरह। या हर संख्या को अभाज्यों में गुणनखंडित करें और हर अभाज्य को उस सबसे बड़ी घात पर गुणा करें जो वह किसी भी संख्या में पहुँचता है।
- मैं 0 क्यों नहीं डाल सकता?
- हर पूर्ण संख्या 0 को भाग देती है, इसलिए GCF(0, n) सीधा n है, और परिपाटी के अनुसार LCM(0, n) 0 है — दोनों में किसी गणना की ज़रूरत नहीं, और 0 का दिखाने लायक कोई अभाज्य गुणनखंड भी नहीं होता। 0 हटा दें, तो कैलकुलेटर बाकी संख्याओं की तुलना करता है।
- क्या GCF × LCM हमेशा संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है?
- केवल दो संख्याओं के लिए: GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b। तीन या अधिक के साथ यह विफल होता है — 2, 4 और 8 के लिए GCF 2 है और LCM 8 है, इसलिए GCF × LCM = 16 होता है, जबकि संख्याओं का गुणनफल 64 है।