गुणोत्तर अनुक्रम कैलकुलेटर

परिणाम

|r| का मान 1 से बड़ा है, इसलिए पद बिना सीमा के बढ़ते हैं।

सामान्य सूत्र

कार्य

अनंत शृंखला केवल तब अभिसरण करती है जब |r| < 1 हो। |r| के 1 या उससे अधिक होने पर पद नहीं सिकुड़ते, इसलिए योग का कोई परिमित मान नहीं है।

अनुक्रम

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536

गुणोत्तर अनुक्रम कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. चुनें कि आप क्या जानते हैं। पहला पद और सार्व अनुपात सामान्य स्थिति है। अनुक्रम के दो पद ऐसे प्रश्न सँभालता है जैसे 'दूसरा पद 6 है और पाँचवाँ 162'। मान कहाँ स्थित है बताता है कि कौन-सा पद किसी संख्या के बराबर है।
2. 2. मान दर्ज करें। पूर्ण संख्याएँ, दशमलव और 1/2 जैसे भिन्न सब चलते हैं। अनुपात ऋणात्मक या भिन्न हो सकता है। पद संख्याएँ 1 से 2000 तक चलती हैं।
3. 3. कार्ड पढ़ें। आपको पद aₙ, योग Sₙ, अनंत तक योग — या जब |r| ≥ 1 हो तो कोई परिमित योग नहीं — अनुपात और पहला पद मिलता है। 40 अंकों से अधिक के मान वैज्ञानिक संकेतन में दिखाए जाते हैं।
4. 4. कार्य का पालन करें। सूत्र आपकी संख्याओं के साथ लिखे जाते हैं, उसके बाद पहले कुछ पद।

सूत्र

गुणोत्तर अनुक्रम हर पद से अगले पद तक जाने के लिए एक ही सार्व अनुपात r से गुणा करता है: a₁, a₁r, a₁r², …। इसलिए n-वाँ पद और पहले n पदों का योग है:

aₙ = a₁ · r^(n − 1)
Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)     (r ≠ 1)
Sₙ = n · a₁                  (r = 1)
S∞ = a₁ ÷ (1 − r)            (केवल जब |r| < 1)

योग का सूत्र Sₙ में से r·Sₙ घटाने से आता है: लगभग हर पद रद्द हो जाता है, और Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ) बचता है। जब |r| < 1 हो, तो n बढ़ने पर rⁿ 0 की ओर सिकुड़ता है, इसलिए आंशिक योग a₁ ÷ (1 − r) पर स्थिर हो जाते हैं। जब |r| ≥ 1 हो तो वे स्थिर नहीं होते, और अनंत शृंखला का कोई परिमित योग नहीं होता।

हल किए गए उदाहरण

1. पद और योग। 3, 6, 12, … के लिए a₁ = 3 और r = 2। 10वाँ पद 3 × 2⁹ = 1536 है और पहले 10 पदों का योग 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069 है।
2. दो पदों से। यदि a₂ = 6 और a₅ = 162, तो r³ = 162 ÷ 6 = 27, इसलिए r = 3। फिर a₁ = 6 ÷ 3 = 2, और अनुक्रम 2, 6, 18, 54, 162, … है। जब दो पद सम संख्या के चरणों की दूरी पर हों, जैसे r² = 4 हो, तो दो वास्तविक उत्तर होते हैं (2 और −2), और कैलकुलेटर दोनों दिखाता है।
3. अनंत योग। 8, −8/3, 8/9, … के लिए a₁ = 8 और r = −1/3, इसलिए S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6। वही सूत्र दिखाता है कि 0.999… = 1 क्यों है: यह 0.9 + 0.09 + 0.009 + … है जिसमें a₁ = 0.9 और r = 0.1, इसलिए S∞ = 0.9 ÷ 0.9 = 1।
4. शतरंज की बिसात। पहले वर्ग पर एक दाना, और 64 वर्गों में से हर एक पर दोगुना: a₁ = 1, r = 2, n = 64, इसलिए S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18446744073709551615 दाने।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

गुणोत्तर अनुक्रम के n-वें पद का सूत्र क्या है?

aₙ = a₁ · r^(n − 1), जहाँ a₁ पहला पद है और r सार्व अनुपात है। 5, 10, 20, … के लिए यह aₙ = 5 · 2^(n − 1) देता है, इसलिए 8वाँ पद 5 × 128 = 640 है।

सार्व अनुपात कैसे निकालें?

किसी भी पद को उसके ठीक पहले वाले पद से भाग दें। 4, 12, 36, 108 में हर भाग 3 देता है। यदि आप केवल ऐसे दो पद जानते हैं जो पड़ोसी नहीं हैं, तो उनके भागफल का k-वाँ मूल लें, जहाँ k उनके बीच के चरणों की संख्या है: a₂ = 6 और a₅ = 162 के साथ r = ∛(162 ÷ 6) = 3।

अनंत गुणोत्तर शृंखला का योग कब होता है?

ठीक तब जब |r| < 1 हो — अनुपात −1 और 1 के बीच हो, इनकी सीमाएँ छोड़कर। तब S∞ = a₁ ÷ (1 − r)। 1 + 1/2 + 1/4 + … के लिए यह 1 ÷ (1/2) = 2 है। यदि |r| ≥ 1 हो तो पद सिकुड़ते नहीं और योग का कोई परिमित मान नहीं होता।

अंकगणितीय और गुणोत्तर अनुक्रम में क्या अंतर है?

अंकगणितीय अनुक्रम एक स्थिर संख्या जोड़ता है (2, 5, 8, 11); गुणोत्तर एक स्थिर संख्या से गुणा करता है (2, 6, 18, 54)। पहले में अंतर स्थिर होते हैं; दूसरे में अनुपात स्थिर होते हैं। Number Sequence Solver आपके लिए दोनों जाँचता है।

क्या सार्व अनुपात ऋणात्मक या भिन्न हो सकता है?

हाँ। ऋणात्मक अनुपात चिह्न बारी-बारी से बदलवाता है (3, −6, 12, −24) और −1 और 1 के बीच का भिन्न पदों को सिकोड़ता है (81, 27, 9, 3, 1, 1/3)। यहाँ 0 अनुपात की अनुमति है, पर फिर पहले के बाद हर पद 0 होता है।

r = 1 होने पर योग का सूत्र क्या देता है?

सूत्र a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) शून्य से भाग देगा, इसलिए इसके बजाय Sₙ = n · a₁ उपयोग करें: हर पद a₁ के बराबर है, और ऐसे n पद हैं। कैलकुलेटर इस रूप पर अपने-आप बदल जाता है।

गुणोत्तर अनुक्रम वास्तविक जीवन में कहाँ दिखते हैं?

चक्रवृद्धि ब्याज गुणोत्तर है: 5% वार्षिक पर 1000 n वर्ष बाद 1000 · 1.05ⁿ होते हैं। जनसंख्या वृद्धि, मूल्यह्रास, रेडियोधर्मी क्षय और गेंद की उछाल की ऊँचाइयाँ सब 1 से ऊपर या नीचे अनुपात के साथ यही पैटर्न दिखाते हैं।