등비수열 계산기
첫째 항과 공비를 입력하면 등비수열의 임의의 항, 처음 n개 항의 합, 그리고 공비가 −1과 1 사이일 때는 전체 무한급수의 합을 구할 수 있습니다. 알고 있는 두 항을 입력하면 계산기가 a₁과 r을 거꾸로 구합니다. 답은 정확한 분수로 표시되며, 각 공식은 입력한 숫자를 대입한 형태로 보여 줍니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.
매번 이 값을 곱합니다. 음수이면 부호가 번갈아 나타납니다.
1부터 2000까지의 정수입니다.
결과
1536
항 a₁₀
3069
처음 10개 항의 합 S₁₀
유한한 합 없음
모든 항의 합, S∞
2
공비
3
첫째 항
|r|이 1보다 크므로 항들은 한없이 커집니다.
일반항 공식
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
풀이
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
무한급수는 |r| < 1일 때만 수렴합니다. |r|이 1 이상이면 항들이 줄어들지 않으므로 합은 유한한 값을 갖지 않습니다.
수열
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
등비수열 계산기 사용 방법
- 1. 알고 있는 값을 고르세요. 첫째 항과 공비가 일반적인 경우입니다. 수열의 두 항은 '둘째 항이 6이고 다섯째 항이 162인' 것과 같은 문제를 풉니다. 값이 몇 번째 항인지 찾기는 어떤 수가 몇 번째 항과 같은지 알려 줍니다.
- 2. 값을 입력하세요. 정수, 소수, 그리고 1/2 같은 분수를 모두 쓸 수 있습니다. 공비는 음수나 분수도 가능합니다. 항 번호는 1부터 2000까지입니다.
- 3. 카드를 읽으세요. 항 aₙ, 합 Sₙ, 무한 합(또는 |r| ≥ 1일 때 유한한 합 없음), 공비와 첫째 항이 표시됩니다. 40자리를 넘는 값은 지수 표기법으로 표시됩니다.
- 4. 풀이를 따라가세요. 공식이 입력한 숫자와 함께 적혀 있고, 그 뒤에 처음 몇 개 항이 이어집니다.
공식
등비수열은 각 항에 같은 공비 r을 곱해 다음 항을 얻습니다: a₁, a₁r, a₁r², …. 따라서 n번째 항과 처음 n개 항의 합은 다음과 같습니다:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (only when |r| < 1)
합 공식은 Sₙ에서 r·Sₙ을 빼면 나옵니다. 거의 모든 항이 소거되고 Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ)이 남습니다. |r| < 1이면 n이 커질수록 rⁿ이 0에 가까워지므로 부분합은 a₁ ÷ (1 − r)에 수렴합니다. |r| ≥ 1이면 수렴하지 않으므로 무한급수는 유한한 합을 갖지 않습니다.
실제 예시
- 항과 합. 3, 6, 12, …에서 a₁ = 3, r = 2입니다. 10번째 항은 3 × 2⁹ = 1536이고, 처음 10개 항의 합은 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069입니다.
- 두 항으로부터. a₂ = 6, a₅ = 162이면 r³ = 162 ÷ 6 = 27이므로 r = 3입니다. 그러면 a₁ = 6 ÷ 3 = 2이고, 수열은 2, 6, 18, 54, 162, …입니다. 두 항 사이의 간격이 짝수 번이면, 예를 들어 r² = 4일 때 실수해는 두 개(2와 −2)이며, 계산기는 둘 다 보여 줍니다.
- 무한 합. 8, −8/3, 8/9, …에서 a₁ = 8, r = −1/3이므로 S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6입니다. 같은 공식으로 0.999… = 1임도 알 수 있습니다. 0.9 + 0.09 + 0.009 + …이며, a₁ = 0.9, r = 0.1이므로 S∞ = 0.9 ÷ 0.9 = 1입니다.
- 체스판. 첫 번째 칸에 쌀 한 알을 놓고 64칸까지 매번 두 배씩 늘립니다: a₁ = 1, r = 2, n = 64이므로 S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18446744073709551615개의 쌀알입니다.
| 공비 r | 수열의 움직임 | 무한 합 |
|---|---|---|
| r > 1 | 한없이 커짐 | 없음 |
| r = 1 | 일정함 | 없음 (a₁ = 0인 경우 제외) |
| 0 < r < 1 | 0을 향해 줄어듦 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | 부호가 번갈아 나타나며 줄어듦 | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | a₁과 −a₁이 번갈아 나타남 | 없음 |
| r < −1 | 번갈아 나타나며 커짐 | 없음 |
자주 묻는 질문
- 등비수열의 n번째 항 공식은 무엇인가요?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1)입니다. 여기서 a₁은 첫째 항, r은 공비입니다. 5, 10, 20, …의 경우 aₙ = 5 · 2^(n − 1)이므로, 여덟째 항은 5 × 128 = 640입니다.
- 공비는 어떻게 구하나요?
- 아무 항이나 바로 앞 항으로 나누면 됩니다. 4, 12, 36, 108에서는 매번 나눗셈 결과가 3입니다. 서로 이웃하지 않는 두 항만 알고 있다면, 그 몫의 k제곱근을 구하세요. 여기서 k는 두 항 사이의 간격 수입니다. a₂ = 6, a₅ = 162이면 r = ∛(162 ÷ 6) = 3입니다.
- 무한 등비급수는 언제 합을 갖나요?
- 정확히 |r| < 1일 때입니다. 공비가 −1과 1 사이(양 끝 제외)에 있을 때입니다. 그때 S∞ = a₁ ÷ (1 − r)입니다. 1 + 1/2 + 1/4 + …의 경우 1 ÷ (1/2) = 2입니다. |r| ≥ 1이면 항들이 줄어들지 않으므로 합은 유한한 값을 갖지 않습니다.
- 등차수열과 등비수열의 차이는 무엇인가요?
- 등차수열은 상수를 더하고(2, 5, 8, 11), 등비수열은 상수를 곱합니다(2, 6, 18, 54). 등차수열에서는 차이가 일정하고, 등비수열에서는 비가 일정합니다. Number Sequence Solver가 두 가지를 모두 검사해 줍니다.
- 공비는 음수이거나 분수일 수 있나요?
- 네. 음의 공비는 부호를 번갈아 나타나게 하고(3, −6, 12, −24), −1과 1 사이의 분수는 항들을 줄어들게 합니다(81, 27, 9, 3, 1, 1/3). 여기서는 공비 0도 허용되지만, 그 경우 첫째 항 이후의 모든 항은 0입니다.
- r = 1일 때 합 공식은 무엇을 주나요?
- a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) 식은 0으로 나누게 되므로, 대신 Sₙ = n · a₁을 씁니다. 모든 항이 a₁과 같고 항은 n개 있습니다. 계산기는 이 형태로 자동으로 바꿉니다.
- 등비수열은 실생활 어디에 나타나나요?
- 복리 이자가 등비적입니다. 연 5%로 1000을 맡기면 n년 후 1000 · 1.05ⁿ이 됩니다. 인구 증가, 감가상각, 방사성 붕괴, 공이 튀는 높이도 1보다 크거나 작은 공비로 같은 패턴을 따릅니다.