Geometrische-rijcalculator
Voer de eerste term en de gemeenschappelijke verhouding in om elke term van een geometrische rij te krijgen, de som van de eerste n termen en — als de verhouding tussen −1 en 1 ligt — de som van de hele oneindige reeks. Of geef twee termen die je kent, dan rekent de calculator terug naar a₁ en r. Antwoorden zijn exacte breuken, en elke formule wordt getoond met jouw getallen ingevuld. Gratis, geen account nodig.
Vermenigvuldig hiermee elke keer. Een negatief getal laat de tekens afwisselen.
Een geheel getal van 1 tot 2000.
Resultaten
1536
Term a₁₀
3069
Som S₁₀ van de eerste 10 termen
Geen eindige som
Som van alle termen, S∞
2
Gemeenschappelijke verhouding
3
Eerste term
|r| is groter dan 1, dus de termen groeien zonder grens.
Algemene formule
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Uitwerking
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
De oneindige reeks convergeert alleen als |r| < 1. Bij |r| van 1 of meer krimpen de termen niet, dus heeft de som geen eindige waarde.
De rij
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
Zo gebruik je de geometrische-rijcalculator
- 1. Kies wat je weet. Eerste term en gemeenschappelijke verhouding is het gebruikelijke geval. Twee termen van de rij behandelt vragen als ‘de 2e term is 6 en de 5e is 162’. Zoek waar een waarde staat vertelt je welke term gelijk is aan een getal.
- 2. Voer de waarden in. Hele getallen, decimalen en breuken zoals 1/2 werken allemaal. De verhouding kan negatief of een breuk zijn. Termnummers lopen van 1 tot 2.000.
- 3. Lees de kaarten. Je krijgt de term aₙ, de som Sₙ, de som tot oneindig — of Geen eindige som als |r| ≥ 1 — de verhouding en de eerste term. Waarden van meer dan 40 cijfers worden in wetenschappelijke notatie getoond.
- 4. Volg de uitwerking. De formules worden uitgeschreven met jouw getallen, gevolgd door de eerste paar termen.
De formules
Een geometrische rij vermenigvuldigt elke term met dezelfde gemeenschappelijke verhouding r om bij de volgende term te komen: a₁, a₁r, a₁r², …. De n-de term en de som van de eerste n termen zijn dus:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (alleen als |r| < 1)
De somformule volgt uit het aftrekken van r·Sₙ van Sₙ: bijna elke term valt weg, en er blijft Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ) over. Als |r| < 1, krimpt rⁿ naar 0 naarmate n groeit, dus de deelsommen stabiliseren op a₁ ÷ (1 − r). Bij |r| ≥ 1 stabiliseren ze niet, en heeft de oneindige reeks geen eindige som.
Uitgewerkte voorbeelden
- Term en som. Voor 3, 6, 12, … is a₁ = 3 en r = 2. De 10e term is 3 × 2⁹ = 1.536 en de som van de eerste 10 is 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3.069.
- Uit twee termen. Als a₂ = 6 en a₅ = 162, dan is r³ = 162 ÷ 6 = 27, dus r = 3. Dan is a₁ = 6 ÷ 3 = 2, en de rij is 2, 6, 18, 54, 162, …. Als de twee termen een even aantal stappen uit elkaar liggen, bijvoorbeeld r² = 4, zijn er twee reële antwoorden (2 en −2), en de calculator toont beide.
- Oneindige som. Voor 8, −8/3, 8/9, … is a₁ = 8 en r = −1/3, dus S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. Dezelfde formule laat zien waarom 0,999… = 1: het is 0,9 + 0,09 + 0,009 + … met a₁ = 0,9 en r = 0,1, dus S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- Het schaakbord. Één korrel op het eerste veld, verdubbelen op elk van de 64 velden: a₁ = 1, r = 2, n = 64, dus S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 korrels.
| Verhouding r | Wat de rij doet | Oneindige som |
|---|---|---|
| r > 1 | Groeit zonder grens | Geen |
| r = 1 | Constant | Geen (tenzij a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | Krimpt naar 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | Wisselt van teken af en krimpt | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | Wisselt af tussen a₁ en −a₁ | Geen |
| r < −1 | Wisselt af en groeit | Geen |
Veelgestelde vragen
- Wat is de formule voor de n-de term van een geometrische rij?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), waarbij a₁ de eerste term is en r de gemeenschappelijke verhouding. Voor 5, 10, 20, … geeft dat aₙ = 5 · 2^(n − 1), dus de 8e term is 5 × 128 = 640.
- Hoe vind je de gemeenschappelijke verhouding?
- Deel elke term door de vorige. In 4, 12, 36, 108 geeft elke deling 3. Als je alleen twee termen kent die niet naast elkaar staan, neem dan de k-de wortel van hun quotiënt, waarbij k het aantal stappen tussen hen is: met a₂ = 6 en a₅ = 162 is r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- Wanneer heeft een oneindige geometrische reeks een som?
- Precies als |r| < 1 — de verhouding ligt tussen −1 en 1, zonder die grenzen. Dan is S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Voor 1 + 1/2 + 1/4 + … is dat 1 ÷ (1/2) = 2. Als |r| ≥ 1 krimpen de termen niet en heeft de som geen eindige waarde.
- Wat is het verschil tussen rekenkundige en geometrische rijen?
- Een rekenkundige rij telt een constante op (2, 5, 8, 11); een geometrische rij vermenigvuldigt met een constante (2, 6, 18, 54). Bij de eerste zijn de verschillen constant; bij de tweede zijn de verhoudingen constant. De Number Sequence Solver test beide voor je.
- Kan de gemeenschappelijke verhouding negatief of een breuk zijn?
- Ja. Een negatieve verhouding laat de tekens afwisselen (3, −6, 12, −24), en een breuk tussen −1 en 1 laat de termen krimpen (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Een verhouding van 0 is hier toegestaan, maar elke term na de eerste is dan 0.
- Wat geeft de somformule als r = 1?
- De formule a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) zou door nul delen, dus gebruik in plaats daarvan Sₙ = n · a₁: elke term is gelijk aan a₁, en er zijn er n. De calculator schakelt automatisch naar deze vorm.
- Waar komen geometrische rijen in het echte leven voor?
- Samengestelde rente is geometrisch: 1.000 tegen 5% per jaar is na n jaar 1.000 · 1,05ⁿ waard. Bevolkingsgroei, waardevermindering, radioactief verval en de stuiterhoogtes van een bal volgen allemaal hetzelfde patroon met een verhouding boven of onder 1.